7、13の倍数判定法 証明

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7の倍数及び13の倍数についての証明と解説です。

 

その1(7と13すべて有効)

方法

下から3桁ずつ区切り交互に足し引きを行いその結果が7の倍数なら7の倍数。

下から3桁ずつ区切り交互に足し引きを行いその結果が13の倍数なら13の倍数。

\(1001=7\times11\times13\)であることを利用していく。

 

証明

7も13も同じなので一度に証明する。

まずは9桁までを考えてみる。3桁ごとに区切っているのですべての(任意の)数は

\(1000000A + 1000B + C\) とおける。

 

\(1000000A+1000B+C=(1001-1)(1001-1)A+(1001-1)B+C\)

 

\(= 1001 \times 1001A – 2 \times 1001A +1001B + A – B + C\)

 

\(=1001(999A+B)+A-B+C\)

 

ここで \(1001=7 \times 13 \times 11\)なので

\(A-B+C \)が7の倍数であれば元の数も7の倍数。

\(A-B+C \)が13の倍数であれば元の数も13の倍数。

 

\(A-B+C\)というのは交互に足し引きを行うことに対応している。

これは、計算と証明ともに桁が増えても同様にできる。

 

※11の倍数も同様にできる。11の倍数の時は3桁に区切る必要性がないのでもう少し楽。

 

その2(7の倍数)

方法

調べたい数の1の位を抜き、そこから1の位の2倍を引く。

これを繰り返し、結果が7の倍数なら元の数も7の倍数。

 

証明

すべて(任意)の数は \(10a + b\) と書ける。

仮定より、\(a-2b\) が7の倍数なので 

\(a-2b=7k\) とおける。

\(10a+b = 10(2b+7k)+b = 21b+7k = 7(3b+k) \)

よって元の数も7の倍数となる。

 

19555417は7の倍数か?また、13の倍数か?

 

①3桁ごとに区切る。

\(19/555/417\)

 

②足し引きする。(絶対値は正にするためにつけているだけ)

\(|19-555+417|=119\)

 

\(119\)は\(7\times17\)なので7の倍数であるが13の倍数ではない。

 

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