偏差値とは

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変数設定

\(a\) \(\cdots\) 平均点

\(s\)および\(\sigma\) \(\cdots\) 標準偏差

\(s^2\) \(\cdots\) 分散

偏差値計算

計算式は以下になります。

偏差値=\(\displaystyle\frac{得点-平均点}{標準偏差}\) \(\times 10+50\)

得点は偏差値を知りたい人の得点、平均点はそのまま平均点です。

標準偏差がおそらく聞きなれないと思うのでここを解説します。

 

標準偏差

標準偏差とはばらつく具合を表します。

 

\(\sigma=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^2}\)

 

\(\sigma\)は標準偏差。\(n\)は人数。\(x_{i}\)は\(i\)番目の人の点数。\(a\)は平均点。

 

「偏差の二乗の平均値(=分散)」の正の平方根が標準偏差。

 

具体例

具体例でやってみます。

あるテストで40点、40点、50点、70点、100点の五人がいたとする。

 

平均点は \(a=60\)

 

分散は \(s^2=\displaystyle\frac{1}{5}\biggl[(40-60)^2+(40-60)^2+(50-60)^2+(70-60)^2+(100-60)^2\biggr]=520\)

 

標準偏差は \(s=\sqrt{520}\simeq 22.8\)

 

ここで例えば100点の人の偏差値を求める。

\(\displaystyle\frac{100-60}{22.8}\times 10 +50\simeq 67.54\)

 

50点の人の偏差値は

\(\displaystyle\frac{50-60}{22.8}\times 10 +50\simeq 45.6\)

 

といった具合に偏差値が計算できる。

 

極端な例

100人いる学年でテストをして自分だけ100点で他の人が全員0点だった場合の偏差値を求めてみましょう。

平均点 \(a=1\)

標準偏差 \(\sigma=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{100}[(100-1)^2+99]}=\sqrt 99\)

 

偏差値は \(\displaystyle\frac{100-1}{\sqrt 99}\times 10+50\simeq 149.5\)

 

無事、偏差値\(149.5\)を叩き出すことに成功しました。

 

\(n\)人が受けて一人だけ0点の場合。

このような悲しい場合を考えてみます。

\((n-1)\)人が100点、\(1\)人が0点。

 

平均点は \(a=\displaystyle\frac{100(n-1)}{n}\)

 

標準偏差 \(\sigma=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\biggl[(100-a)^2\times (n-1)+(0-a)^2\biggr]}\)

 

\(=\displaystyle\frac{100}{n}\sqrt{n-1}\)

 

偏差値は \(\displaystyle\frac{0-\displaystyle\frac{n-1}{n}\times 100}{\displaystyle\frac{100}{n}\sqrt{n-1}}\times 10+50\)\(=50-10\sqrt{n-1}\)

 

\(n=26\)で偏差値が0になる。26人以上では負の偏差値が存在する。

逆に25人以下では負の偏差値は出ない。

※25人以下では偏差値3桁も出ない。

 

意味

もう一度、冒頭の式を書きます。

偏差値=\(\displaystyle\frac{得点-平均点}{標準偏差}\) \(\times 10+50\)

 

平均点だと偏差値は50になると知っていると思いますが、これは(得点-平均点)が0になるためです。

 

また、得点と平均点の差が標準偏差一つ分ずれると偏差値は10あがる(さがる)。2つ分ずれると20あがる(さがる)。

 

高偏差値を出すには標準偏差を小さく(ばらつくを小さく)、得点と平均点差を大きく(高得点取る)ことが必要。

 

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