0.999999……=1 ?!

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今日は数学の話です。

0.999999・・・=1

題にもある通りの式です。

この式は果たして数学的に真でしょうか、偽でしょうか。思うところはあると思いますが、結論から言うと数学的には真です。

イメージ

\(\displaystyle\frac{1}{3}\)

は計算すると

\(0.333333…………\)。なので

\(1 =\displaystyle\frac{3}{3}=3×\displaystyle\frac{1}{3}=3×0.3333333……=0.9999999……\)

という感じですね。(あくまでイメージです)

ここからは真面目な証明をしていきます。

今回は2個紹介します。

証明1

まず\(x=0.9999999\)……(①)と置いてしまいます。

ここで両辺を10倍してみましょう。

\(10x=9.9999999\)……(②)

②-①より

\(9x=9\)

\(x=1\)

よって証明されました。

扱いにくい無限に続く部分を引き算でうまく消去しています。

証明2

無限級数使います。

\(0.99999……=0.9+0.09+0.009……          (初項0.9公比0.1の無限等比級数)\)

=\(\displaystyle\frac{0.9}{1-0.1}\)

\(=1\)

証明終了。

まとめ

証明1,2とも有限とみなしたような計算から無限へ拡張するときに

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(0.1)^{n} \)

の分を0とみなしていることになっています。

ところで実数の連続性の公理というものがあります(読んで字の如く、実数の連続性についての性質)

これに基づくと、

\(0.999999……\neq1\)

と仮定すると左辺と右辺の間に存在できる実数がなくなってしまい、左辺と右辺の間の連続性がなくなってしまいます。これは連続性の公理に矛盾するので

\(0.999999……=1\) が成立します。

しかし、これは上で証明したことと言ってることは同じです。(上での証明に使ってる)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(0.1)^{n} \)

を0とみなしているのは連続性の公理に基づくからです。

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