xy=1が双曲線な理由

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双曲線

まず、双曲線とは\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) な形をしたもの。

ところが中学で出てくる反比例グラフ \(y=\displaystyle\frac{1}{x}\)は双曲線なのに一見この形に見えません。

どういうことなんだろう。と疑問に思いませんでしたか?

今回は \(y=\displaystyle\frac{1}{x}\) が双曲線である証明をしていきます。

 

 

計算

結論から言うと45度回転すると双曲線の式の形になります。

 

回転なので行列を使います。\(\theta\)回転は \(\left( \begin{array}{cc}  \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \) で表される。

 

\(y=\displaystyle\frac{1}{x}\) 上の点\((x,y)\)を45度回転した点を\((X,Y)\)とする。

\((X,Y)\)から\((x,y)\)への\(-45\)度回転を考えます。 ※\(y=\displaystyle\frac{1}{x}\)に代入することを見据えて。

 

\(\left( \begin{array}{cc}  x \\ y\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}  \cos \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr) & \sin \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr) \\ -\sin \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr) & \cos \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}  X \\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}  \displaystyle\frac{X}{\sqrt 2}+ \displaystyle\frac{Y}{\sqrt 2} \\ -\displaystyle\frac{X}{\sqrt 2}+ \displaystyle\frac{Y}{\sqrt 2} \end{array} \right) \)

 

\(y=\displaystyle\frac{1}{x}\)、すなわち \(xy=1\) に代入すると

 

\(\biggl(\displaystyle\frac{X}{\sqrt 2}+ \displaystyle\frac{Y}{\sqrt 2} \biggr)\biggl(\displaystyle\frac{X}{\sqrt 2}-\displaystyle\frac{Y}{\sqrt 2}\biggr) =-1\)

 

\(\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{y^2}{2}=-1\) となって、これは双曲線の式となっている。

 

 まとめ

45度回転の計算をすると双曲線形になる。してることは同じですが、行列ではなく複素数の回転操作を行ってもできます。

 

 

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