内積と外積

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内積

スカラーになる。(2つのベクトルからスカラーを定義する)

 

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)

 

\(\vec{a}=(a_{1} , a_{2} , a_{3})\)、\(\vec{b}=(b_{1} , b_{2} , b_{3})\) とすると

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)

 

外積

ベクトルになる。(2つのベクトルからベクトルを定義する)

 

\(\vec{a}\times\vec{b}\) は大きさが \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) で\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)に垂直なベクトル。

 

\(\vec{a}=(a_{1} , a_{2} , a_{3})\)、\(\vec{b}=(b_{1} , b_{2} , b_{3})\) とすると

\(\vec{a}\times\vec{b}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2} , a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3} , a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)

 

高校数学での外積

\(A(1 , 2 , 3)\)、\(B(4 , 4 , 4)\) とする。

 

① △OABの面積

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\)\(|\vec{OA}\times\vec{OB}|\)

 

\(\vec{OA}\times\vec{OB}=(2\cdot 4-3\cdot 4 , 3\cdot 4-1\cdot 4 , 1\cdot 4-2\cdot 4)=(-4 , 8 , -4)\)

\(|\vec{OA}\times\vec{OB}|=\sqrt{(-4)^2+8^2+(-4)^2}=4\sqrt{3}\)

 

よって \(S=2\sqrt{3}\)

 

② 平面OABに垂直な単位ベクトルは?

※単位ベクトルとは、長さ1のベクトルのこと

 

\(\vec{OA}\times\vec{OB}=(2\cdot 4-3\cdot 4 , 3\cdot 4-1\cdot 4 , 1\cdot 4-2\cdot 4)=(-4 , 8 , -4)\)

\(|\vec{OA}\times\vec{OB}|=4\sqrt{3}\) より 

 

\(\vec{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(-1 , 2 , -1)\)

 

ここからO、A、Bを通る平面の方程式を求められる。

 

平面上の点を \(C(x , y , z)\) とすると \(\vec{OC}\cdot \vec{n}=0\) より

 

\(-x+2y-z=0\) が得られる。(O、A、Bはすべてこれを満たすことも分かる)

 

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