級数一覧

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いろいろな級数をまとめました。ぜひ参考にしてください。

 

 

ゼータ関数

ゼータ関数とは、\(\zeta(s)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^s}\)というもの。

 

\(s=2\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)  ※バーゼル問題

 

\(s=4\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^4}=\displaystyle\frac{1}{1^4}+\displaystyle\frac{1}{2^4}+\displaystyle\frac{1}{3^4}+\cdots =\displaystyle\frac{\pi^4}{90}\)

 

\(s=1\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{1}+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\cdots =\infty\)

 

円周率関連

\(\pi\)に関連する等式です。

 

バーゼル問題

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)    ※上で述べましたがもう一度

 

フーリエ級数から

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k-1)^2}=\displaystyle\frac{1}{1^1}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{8}\)

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1^2}-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}-\displaystyle\frac{1}{4^2}+\cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)

 

その他

eのマクローリン展開

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k!}=1+\displaystyle\frac{1}{1!}+\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{3!}+\cdots =e\)

 

メルカトル級数

 \(1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2\)

 

ライプニッツ級数

\(1-\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

 

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