正七角形の性質

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正七角形

あまりなじみのない正七角形に関する面白い関係性を紹介します。

 

 

関係式

 

正七角形ABCDEFGで、CD=a、AC=b、AE=cです。

 

この時、次の関係が成立する。

 

\(\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{1}{b} +\displaystyle\frac{1}{c}\)

 

証明

 

四角形ACDE(他のところでも良いが)でトレミーの定理を使用。

 

AC×DE+CD×AE=CE×AD ……トレミーの定理

 

CD=DE=a 、AC=CE=b 、AD=AE=c を代入すると

 

\(ab+ac=bc\) となる。

 

これを両辺\(abc\) で割ると \(\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{1}{b} +\displaystyle\frac{1}{c}\) となり証明完了。

 

 

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