図形問題、角の和

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図形問題

有名問題です。

3つの正方形を並べ、角を上のようにとる。

この時、上図において\(\alpha+\beta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) (=45°)

が成立。

 

証明1 三角関数

三角関数やっていればこれが一番簡単でしょう。

 

図より   \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\tan \beta=\displaystyle\frac{1}{3}\) 

 

\(\tan (\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{1}{3}}=1\) 

 

\(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

より、\(0 < \alpha+\beta < \pi\)

 

つまり、 \(\alpha+\beta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) (=45°)となる。

 

証明2 幾何

まず、下の図のように問題の図を折り返す。

 

 

三角形ABCを考える。正方形の一辺の長さを1とする(して良い)。……比が重要なので。

 

\(AB=\sqrt 5\) \(BC=\sqrt 5\) \(CA=\sqrt 10\)

よって三角形ABCは角B=90°の直角二等辺三角形。

つまり

 

\(\alpha+\beta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

証明3 複素数

 

3つの正方形の左下を原点として長さ1で座標設定。

 

\(\gamma=2+i\) 、\(\delta=3+i\)   とおく。 \(\arg \gamma=\alpha\) 、\(\arg \delta=\beta\) となる。

 

ここで \(\gamma\delta=5+5i=5\sqrt 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}) \)

 

よって \(\alpha+\beta=\arg \gamma+\arg \delta=\arg \gamma\delta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

45°となる。

 

 

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