クラスに同じ誕生日の人がいる確率

 

目次

クラスに同じ誕生日の人がいる確率

1年365日で計算します

クラスに同じ誕生日の人がいる確率

\(n\)人のクラスでの確率

まずは、全員の誕生日が異なる確率を求める。

1人目……いつでも良い。\(\displaystyle\frac{365}{365}\)

 

2人目……1人目と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)

 

3人目……1 , 2人目と被らないこと。\(\displaystyle\frac{363}{365}\)

 

\(\cdots\)

 

\(n\)人目……\(n-1\)人と被らないこと。\(\displaystyle\frac{365-(n-1)}{365}\)

 

全員の誕生日が異なる確率はこれらの積なので

\(\displaystyle\frac{_{365}P_{n}}{365^n}\)

 

同じ誕生日の組が存在する確率はこれの余事象。

\(1-\displaystyle\frac{_{365}P_{n}}{365^n}\)

具体例

23人クラスの時におよそ確率が\(\displaystyle\frac{1}{2}\)になります。

40人クラスだとおよそ9割にも達します。

 

この確率は必ずしも「自分自身と」同じ誕生日の人がいる確率ではないです。「自分自身と」の確率は以下に続きます。

クラスに自分自身と同じ誕生日の人がいる確率

\(n\)人のクラスでの確率

1人目……自分自身と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)

 

2人目……自分自身と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)

 

\(\cdots\)

 

\(n-1\)人目……\(n-1\)人と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)

 

全員の誕生日が自分自身と異なる確率はこれらの積なので

\(\biggl(\displaystyle\frac{364}{365}\biggr)^{n-1}\)

 

同じ誕生日の組が存在する確率はこれの余事象。

\(1-\biggl(\displaystyle\frac{364}{365}\biggr)^{n-1}\)

 

これだと40人でも10パーセント程度になります。

 

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