正規分布(ガウス分布)

確率統計
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この記事では、ガウス積分はできる前提になってます。

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}$

 

正規分布(ガウス分布)

$m$を平均、$\sigma$を標準偏差とする。確率密度関数は

 

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} $

 

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx=1$となっている。

 

 

期待値

期待値は以下のようになる。

 

$E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-m) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} m \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{x^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+m$

$= m$

※第一項は奇関数なので消える。

 

 

分散

分散は以下のようになる。

 

$\mathrm{Var}(X)=E[(X-E(X))^2]=E[(X-m)^2]$


$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-m)^2 \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$


$=\biggl[-\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} (x-m) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr]\biggr]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr]dx$

$= \sigma^2$

 

 

 

 

 

 

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