正規分布(ガウス分布)

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目次

確率密度関数

$\mu$を平均、$\sigma$を標準偏差とする。確率密度関数は

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

$\mu=0,\sigma=1$のものは標準正規分布という。

 

期待値

$E[X]=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mu \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{x^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+\mu$

$= \mu$

※第一項は奇関数なので消えます。

 

分散

分散は以下のようになる。

 

$\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$


$=\biggl[-\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} (x-\mu) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr]\biggr]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr]dx$

$= \sigma^2$

 

積率母関数

$M_{X}(t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  e^t \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2\sigma^2}\left((x-(\mu+t\sigma^2))^2-2\mu t\sigma^2-t^2\sigma^4 \right)\biggr] $

$=e^{\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

 

グラフ

 

 

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