くじ引きは何番目に引くべき?

確率統計
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くじ引きに関する確率のお話です。

問題

くじがある。「当たり」が2本、「はずれ」が8本入っている。

3人がくじを引くとき、最も当たりやすいのは何番目の人か?

 

解答

1人目の人が「当たり」を引く確率

10本中2本が当たりより、

\(\displaystyle\frac{2}{10}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)

 

2人目の人が「当たり」を引く確率

1人目の状況によって場合分け。

 

① 「1人目が当たり」の時

\(\displaystyle\frac{2}{10}\times \displaystyle\frac{1}{9}= \displaystyle\frac{1}{45}\)

 

② 「1人目がはずれ」の時

\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{2}{9}= \displaystyle\frac{8}{45}\)

 

求める答えはこれらの和。

 

\(\displaystyle\frac{1}{45}+\displaystyle\frac{8}{45}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)

 

3人目の人が「当たり」を引く確率

さらに場合分け。

 

① 「1人目が当たり、2人目が当たり」の時

もう、あたりはないので確率は \(0\)

 

② 「1人目が当たり、2人目がはずれ」の時

 

\(\displaystyle\frac{2}{10}\times \displaystyle\frac{8}{9}\times \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{45}\)

 

③ 「1人目がはずれ、2人目が当たり」の時

 

\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{2}{9}\times \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{45}\)

 

④ 「1人目がはずれ、2人目もはずれ」の時

 

\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{7}{9}\times \displaystyle\frac{2}{8}=\displaystyle\frac{7}{45}\)

 

求める答えはこれらの和。

\(\displaystyle\frac{1}{45}\times \displaystyle\frac{1}{45}\times \displaystyle\frac{7}{45}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)

 

よって、何番目に引こうが確率は \(\displaystyle\frac{1}{5}\) となる。

 

 

結論

一般の場合も同じ結果になります。くじ引きの順番に関係なく平等です。

残り物には福があるということわざがありますが、数学的には等確率です。

 

 

 

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