二項分布 期待値と分散

確率統計
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二項分布

二項分布は表が出る確率が$p$のコインを$n$回投げた時の確率に関係する。

 

確率

二項分布の確率は以下の式で計算できます。

$P(X=k)={}_n \mathrm{C}_k p^k(1-p)^{n-k} (※0\leq k\leq n)$

 

期待値

二項分布の期待値は$E[X]=np$と書ける。以下導出です。

 

$E[X] = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k P(X=k)$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k{}_n \mathrm{C}_k p^k(1-p)^{n-k}= \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{n! p^k(1-p)^{n-k}}{(k-1)!(n-k)!}$

$= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle\frac{n! p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{k!(n-k-1)!}= np \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle\frac{(n-1)! p^k(1-p)^{n-k-1}}{k!(n-k-1)!}$

$= np \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1} \mathrm{C}_{k} p^k(1-p)^{n-k-1}$

$= np(p+1-p)^{n-1}=np$

 

 

 

分散

二項分布の分散は$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$と書ける。以下導出です。

 

$E[X^2] =\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{k^2 n! p^k(1-p)^{n-k}}{k!(n-k)!}$


$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\displaystyle\frac{n! p^k(1-p)^{n-k}}{k!(n-k)!}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\displaystyle\frac{n! p^k(1-p)^{n-k}}{k!(n-k)!}$


$= \displaystyle\sum_{k=2}^{n}\displaystyle\frac{n! p^k(1-p)^{n-k}}{(k-2)!(n-k)!}+E[X]=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k-2)!}p^{k+2}(1-p)^{n-k-2}+np$


$= n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}{}_{n-2} \mathrm{C}_k p^k(1-p)^{n-k-2}+np= n(n-1)p^2+np$

 

よって分散は

$\mathrm{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2= n(n-1)p^2+np-(np)^2=np(1-p)$

 

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