[mathjax]
問題
当たりの確率が\(\displaystyle\frac{1}{100}\)のくじがある。このくじを\(100\)回引く。\(100\)回以内に当たりを引く確率は？
同様に\(100\)のかわりに\(n\)で考えるとどうなる？
解答
感覚的には\(1\)にかなり近づきそうですが、、、
100回以内に当たりを引かない確率の余事象と考える。
当たりを引かない確率は\(\displaystyle\frac{99}{100}\)より
\(P=1-\biggl(\displaystyle\frac{99}{100}\biggr)^{100}\)
同様に\(n\)の時を考える。
\(n\)回以内に当たりを引かない確率の余事象と考える。
当たりを引かない確率は\(\displaystyle\frac{n-1}{n}\)より
\(P=1-\biggl(\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n\)
これを\(n\to \infty\)にすると
\(P=\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\biggl(\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{e}\)
\(=0.6321205588\cdots\)
となります。つまり、63％ほどしかないのです。
