1/100の当たりくじ、100回以内に引く確率は?

確率統計
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問題

当たりの確率が\(\displaystyle\frac{1}{100}\)のくじがある。このくじを\(100\)回引く。\(100\)回以内に当たりを引く確率は?

同様に\(100\)のかわりに\(n\)で考えるとどうなる?

 

解答

感覚的には\(1\)にかなり近づきそうですが、、、

 

100回以内に当たりを引かない確率の余事象と考える。

当たりを引かない確率は\(\displaystyle\frac{99}{100}\)より

\(P=1-\biggl(\displaystyle\frac{99}{100}\biggr)^{100}\)

 

同様に\(n\)の時を考える。

\(n\)回以内に当たりを引かない確率の余事象と考える。

当たりを引かない確率は\(\displaystyle\frac{n-1}{n}\)より

\(P=1-\biggl(\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n\)

 

これを\(n\to \infty\)にすると

 

\(P=\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\biggl(\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n\)

 

\(=1-\displaystyle\frac{1}{e}\)

 

\(=0.6321205588\cdots\)

となります。つまり、63%ほどしかないのです。

 

 

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