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PCR検査
コロナが流行り、PCR検査というものも広まっていましたが、これに関する数学の問題を考えてみましょう
問題
コロナに人口の1%が罹患しているとする。
PCR検査の精度を実際にコロナに感染しているときに陽性と判定する確率(感度)を99％、実際にコロナに感染しているときに陰性と判定する確率(特異度)を95％とする。
PCR検査で陽性と判定されたときに実際にコロナに感染してる確率を求める。
解答
条件付き確率の問題で原因の確率とも呼ばれる。（ベイズの定理を用いる）
B 陽性である事象（結果）
A それがコロナによるものである事象（原因）
$P_{B}(A)=\displaystyle\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(A)P_{A}(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)}$
$=\displaystyle\frac{0.01\times 0.99}{0.01\times 0.99+0.99\times 0.05}=\displaystyle\frac{1}{6}$
陽性と判定されても実際に陽性である確率は意外と低くなる。
PCR検査でむやみやたらに検査対象人数を増やしても意味ないというのは、感染度合いの少ない地域での検査を抑え、罹患率部分をできるだけ下げないようにするためである。これに関して次の問題を考える。
問題
コロナに人口の$n$%が罹患しているとする。
PCR検査の精度を実際にコロナに感染しているときに陽性と判定する確率を99％、実際にコロナに感染しているときに陰性と判定する確率を99％とする。
PCR検査で陽性と判定されたときに実際にコロナに感染してる確率を求める。
解答
B 陽性である事象（結果）
A それがコロナによるものである事象（原因）
$P_{B}(A)=\displaystyle\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(A)P_{A}(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)}$
$=\displaystyle\frac{\frac{n}{100}\times 0.99}{\frac{n}{100}\times 0.99+\left(\frac{100-n}{100}\right)\times 0.01}=\displaystyle\frac{99n}{98n+100}$
$n$が大きいほど、$P_{B}(A)$も大きくなり、より正確な検査となることがわかる。
