ε-δ(イプシロン-デルタ)論法

はじめに

$\varepsilon$-$\delta$論法とは関数の極限に関する定義。

$\varepsilon$-$N$論法は数列の極限に関する定義。

高校までの数学では、極限に関しては厳密な定義が与えられていなかったがここで極限に関する厳密な定義が与えられる。(歴史的にも、極限の定義の構築は後回しにされていた)

大学の数学を象徴する(?)この論法ですが、イメージを掴んでいきましょう。

まずは、$\varepsilon$-$N$論法についてです。定義は以下の通りである。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha$とは

$\forall \varepsilon>0$ , $\exists N \in \mathbb{N}$

$n>N$ $\Longrightarrow$ $|a_{n}-\alpha|<\varepsilon$

日本語で書くと、任意の$\varepsilon>0$に対してある整数$N$が存在し、$n>N$ならば$|a_{n}-\alpha|<\varepsilon$が成り立つ時、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha$という。

次に、$\varepsilon$-$\delta$論法についてです。定義は以下の通りである。

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b$とは

$\forall \varepsilon>0$ , $\exists \delta>0 $

$0<|x-a|<\delta$ $\Longrightarrow$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

日本語で書くと、任意の$\varepsilon>0$に対してある$\delta$が存在し、$0<|x-a|<\delta$ ならば$|f(x)-b|<\varepsilon$が成り立つ時、$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b$という。

$0<|x-a|<\delta$が$|x-a|<\delta$になると連続の定義となる。

$\displaystyle\lim_{x\to 1} (4x+2)=6$を証明する。

$\forall \varepsilon>0$ で$\exists \delta=\displaystyle\frac{\varepsilon}{4}>0$とすると、$|x-1|<\delta$のとき

$|f(x)-b|=|(4x+2)-6|=4|x-1|<4\delta=\varepsilon$

よって、$0<|x-1|<\delta$ならば$|f(x)-b|<\varepsilon$が成立している。