フィボナッチ数列

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フィボナッチ数列

前の2項を足すと次の数になる数列。

\(1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 \cdots\)

 

ちなみに、トリボナッチ数列(前の3項の和が次の項になる数列)、テトラナッチ数列(前の4項の和が次の項になる数列)などもある。

 

一般項

 フィボナッチ数列における漸化式は以下のように書ける。

 

 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

 

 

特性方程式は\(x^2-x-1=0\)。これを解くと

\(x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt 5}{2}\) となるので、漸化式は次の2通りに変形可能。

 

① \(a_{n+2}-\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}a_{n+1}=\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}\biggl(a_{n+1}-\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}a_{n}\biggr)\)

 

② \(a_{n+2}-\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}a_{n+1}=\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}\biggl(a_{n+1}-\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}a_{n}\biggr)\)

 

これらは初項を考慮すると、次のように変形できる。

①は

\(a_{n+1}-\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}a_{n}=\biggl(\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}\biggr)^n\)

 

②は

\(a_{n+1}-\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}a_{n}=\biggl(\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}\biggr)^n\)

 

 上から下を引いて整理すると

 

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}\biggl[\biggl(\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}\biggr)^n-\biggl(\displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}\biggr)^n\biggr]\)

 

\(\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}=\phi\)とおくと(黄金比)

 

\(a_{n}=\displaystyle\frac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt 5}\)

 

 おまけ

 フィボナッチ数列において最初の2項を 2, 1 に置き換えた数列の項を「リュカ数」といい、この数列はより美しい形で表される。

 

数列を\(L_{n}\)とおく。

 

\(L_{n}=\phi^n+(-\phi)^{-n}\)

 

初項等の考慮がずれるだけで大筋は同じです。

 

 

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