数列10 漸化式\(a_{n+1}=pa_{n}+f(n)\)型

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漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+f(n)\)型

 

 

 

漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+f(n)\)型

主な解法として、以下の2つがある。

 

① 階差数列を解く。(n回階差数列、\(f(n)\)が高次ではこの方法は向いてない

② 係数比較 (等比型の仮定)

 

例題

上では言ってることが伝わりにくいので、例題をしてみます。

 

\(a_{n+1}=2a_{n}+3n+1\)  (\(a_{1}=1\))

 

 

①の解法

\(n\)を一つずらします。

 

\(a_{n+2}=2a_{n+1}+3(n+1)+1\)  ②

\(a_{n+1}=2a_{n}+3n+1\)     ③

 

②-③より  \(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+3\) 

 

ここで、\(a_{n+1}-a_{n}=b_{n}\)とおくと、\(b_{1}=a_{2}-a_{1}=5\)であり、

 

\(b_{n+1}=2b_{n}+3\)と書けて、

 

\(b_{n+1}+3=2(b_{n}+3)\)より 

 

\(b_{n}+3=8\cdot 2^{n-1}\)

 

\(b_{n}=2^{n+2}-3\)

 

\(a_{n+1}-a_{n}=2^{n+2}-3\)

 

これは階差数列なのでそのように考えて解くと

 

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2^{k+2}-3)\)

 

\(=1+\displaystyle\frac{8(2^{n-1}-1)}{2-1}-3(n-1)\)

 

\(=2^{n+2}-3n-4\)

 

②の解法

階差数列型に持っていくため次のように仮定します。

 

\(a_{n+1}+p(n+1)+q=a_{n}+pn+q\)

 

\(a_{n+1}=2a_{n}+pn-p+q\)

 

これを問題の式と比較すると、\(p=3 , q=4\)がわかる。

 

数列{\(a_{n}+3n+4\)}は初項\(8\)、公比\(2\)より

 

\(a_{n}+3n+4=8\cdot 2^{n-1}\)

 

\(a_{n}=2^{n+2}-3n-4\)

 

答え

\(a_{n}=2^{n+2}-3n-4\)

 

 

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