数列11 分数型漸化式

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数列11 分数型漸化式

 

 

分数型漸化式

分数が入った漸化式です。逆数を取って考えますが、分数なので、分母が0でないことの確認だけ注意します。

 

問題

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n}+2}\)     \(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

 

 

 

解答

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n}+2}\)     \(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

まず、逆数を取っていいことの確認のため、\(a_{n}\neq 0\)を示す。

 

背理法で示す。\(a_{n}=0\)と仮定。

 

問題の漸化式より、\(a_{n}=a_{n-1}=\cdots =a_{1}=0\)となるが、これは\(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}\)と矛盾する。

 

よって、\(a_{n}\neq 0\)なので両辺の逆数を取れるので取ると

 

\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{a_{n}+2}{a_{n}}=1+\displaystyle\frac{2}{a_{n}}\)

 

ここで、\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\)とおくと上の漸化式は以下のようになる。

 

 \(b_{n+1}=2b_{n}+1\)    \(b_{1}=2\)

 

変形すると、\(b_{n+1}+1=2(b_{n}+1)\)であり

 

数列{\(b_{n}+1\)}は初項\(3\)、公比\(2\)なので

 

\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-1\)

 

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{b_{n}}=\displaystyle\frac{1}{3\cdot 2^{n-1}-1}\)

 

 

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