数列12 隣接三項間漸化式

シェアする

数列12 隣接三項間漸化式

 

 

隣接三項間漸化式

\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)という形のものである。

 

\(x^2+px+q=0\)の二解を\(\alpha\)、\(\beta\)とすると、

 

\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)であり、上の式と比較すると

 

\(p=-\alpha-\beta\)、\(q=\alpha\beta\)である。これを漸化式に代入すると

 

\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)

と変形できる。これは、等比型となっていて解ける。※この変形は二通りある。両方使う。

 

例題

\(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=0\)

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=2\)

 

 

 

解答

\(x^2-3x+2=0\)の解は\(x=1 , 2\)であるので漸化式は次のように書ける。

 

\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})\)   \(\cdots\) ①

 

\(a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_{n})\)  \(\cdots\) ②

 

①の漸化式

{\(a_{n+1}-a_{n}\)}は初項\(a_{2}-a_{1}=1\)、公比\(2\)の等比数列。

 

\(a_{n+1}-a_{n}=2^{n-1}\)   \(\cdots\) ③

 

②の漸化式

\(a_{n+1}-2a_{n}=a_{n}-2a_{n-1}=\cdots =a_{2}-2a_{1}=0\)なので

 

\(a_{n+1}=2a_{n}\) \(\cdots\) ④

 

答え

③と④から、\(a_{n}=2^{n-1}\)

 

 

シェアする