数列13 隣接三項間漸化式 重解版

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数列13 隣接三項間漸化式 重解版

 

 

隣接三項間漸化式 

\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\) で特性方程式が重解となった時の解き方。

 

特性方程式、\(x^2+px+q=0\)の重解を\(\alpha\)とすると、

 

\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)

 

と変形できる。これは、等比型となっていて解けるが、重解の場合、二解ある時と異なり、一つの式しか出てこない。この時の解き方を例題でやっていく。

 

例題

\(a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_{n}=0\)

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=4\)

 

 

 

解答

\(x^2-4x+4=0\)の解は\(x=2\)であるので漸化式は次のように書ける。

 

\(a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_{n})\)   \(\cdots\) ①

 

①の漸化式

数列{\(a_{n+1}-2a_{n}\)}は初項\(a_{2}-2a_{1}=2\)、公比\(2\)の等比数列。

 

\(a_{n+1}-2a_{n}=2^{n}\)  \(\cdots\) ②

 

②の漸化式

②の両辺を\(2^{n+1}\)で割る。※\(\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}\)を塊とした漸化式にするため。

 

\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}\)とおくと \(b_{n+1}-b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

これは等差数列なので、計算すると\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}+(n-1)\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}n\)

 

答え

よって答えは以下のようになる。

 

\(a_{n}=2^n b_{n}=n\cdot 2^{n-1}\)

 

 

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