数列14 連立漸化式

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数列14 連立漸化式

連立漸化式

2つの一般項が混ざった形の漸化式となっています。主な解き方が2通りあります。

片方を消去して、隣接三項間漸化式に持っていく。

等比型になるように変数を置き、それらを求める。

これだけでは伝わりにくいので、例題でやってみます。 

例題

\(a_{n+1}=4a_{n}-2b_{n}\)

\(b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\)

\(a_{1}=1\)、\(b_{1}=2\)

解答1

第二式より、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\)である。これを第一式に代入。

\(b_{n+2}-b_{n+1}=4(b_{n+1}-b_{n})-2b_{n}\)

これは隣接三項間漸化式なので解ける。

\(b_{n+2}-5b_{n+1}+6b_{n}=0\)

\(b_{n+2}-2b_{n+1}=3(b_{n+1}-2b_{n})\)

\(b_{n+2}-3b_{n+1}=2(b_{n+1}-3b_{n})\)

\(b_{1}=2\)、\(b_{2}=a_{1}+b_{1}=3\)なので

\(b_{n+1}-2b_{n}=(-1)\cdot 3^{n-1}\)

\(b_{n+1}-3b_{n}=(-3)\cdot 2^{n-1}\)

辺々引いて、\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)

また、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}=(3\cdot 2^n-3^n)-(3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1})\)より

\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)

解答2

\(a_{n+1}+kb_{n+1}=t(a_{n}+kb_{n})\)とおく。①

\(a_{n+1}=4a_{n}-2b_{n}\)

\(kb_{n+1}=ka_{n}+kb_{n}\)

両辺足すと、\(a_{n+1}+kb_{n+1}=(k+4)a_{n}+(k-2)b_{n}\)

①と比較すると、\(t=k+4\)、\(tk=k-2\)なので

\((t , k)=(3 , -1) , (2 , -2)\)

これらの時、①は次のようになる。

\(a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_{n}-b_{n})\)

\(a_{n+1}-2b_{n+1}=2(a_{n}-2b_{n})\)

\(a_{n}-b_{n}=(-1)\cdot 3^{n-1}\)  ……②

\(a_{n}-2b_{n}=(-3)\cdot 2^{n-1}\)

辺々引くと、\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)

②の式より

\(a_{n}=b_{n}-3^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)

※解法1の答えと一致している。

答え

\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)

\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)

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