数列14 連立漸化式
連立漸化式
2つの一般項が混ざった形の漸化式となっています。主な解き方が2通りあります。
①片方を消去して、隣接三項間漸化式に持っていく。
②等比型になるように変数を置き、それらを求める。
これだけでは伝わりにくいので、例題でやってみます。
例題
\(a_{n+1}=4a_{n}-2b_{n}\)
\(b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\)
\(a_{1}=1\)、\(b_{1}=2\)
解答1
第二式より、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\)である。これを第一式に代入。
\(b_{n+2}-b_{n+1}=4(b_{n+1}-b_{n})-2b_{n}\)
これは隣接三項間漸化式なので解ける。
\(b_{n+2}-5b_{n+1}+6b_{n}=0\)
\(b_{n+2}-2b_{n+1}=3(b_{n+1}-2b_{n})\)
\(b_{n+2}-3b_{n+1}=2(b_{n+1}-3b_{n})\)
\(b_{1}=2\)、\(b_{2}=a_{1}+b_{1}=3\)なので
\(b_{n+1}-2b_{n}=(-1)\cdot 3^{n-1}\)
\(b_{n+1}-3b_{n}=(-3)\cdot 2^{n-1}\)
辺々引いて、\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)
また、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}=(3\cdot 2^n-3^n)-(3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1})\)より
\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)
解答2
\(a_{n+1}+kb_{n+1}=t(a_{n}+kb_{n})\)とおく。①
\(a_{n+1}=4a_{n}-2b_{n}\)
\(kb_{n+1}=ka_{n}+kb_{n}\)
両辺足すと、\(a_{n+1}+kb_{n+1}=(k+4)a_{n}+(k-2)b_{n}\)
①と比較すると、\(t=k+4\)、\(tk=k-2\)なので
\((t , k)=(3 , -1) , (2 , -2)\)
これらの時、①は次のようになる。
\(a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_{n}-b_{n})\)
\(a_{n+1}-2b_{n+1}=2(a_{n}-2b_{n})\)
\(a_{n}-b_{n}=(-1)\cdot 3^{n-1}\) ……②
\(a_{n}-2b_{n}=(-3)\cdot 2^{n-1}\)
辺々引くと、\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)
②の式より
\(a_{n}=b_{n}-3^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)
※解法1の答えと一致している。
答え
\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}\)
\(b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-3^{n-1}\)