数列15 数学的帰納法

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数列15 数学的帰納法

 

 

数学的帰納法

\(n=1\)で命題が成立することを確認する。

 

\(n=k\)で命題が成立すると仮定し、\(n=k+1\)でも命題が成立するとなれば、ドミノ倒しの要領で、すべての\(n\)に対して成立する。

 

 つまり、この方法で命題の証明(等式や不等式)をできることになる

 

例題

\(1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\biggr]^2\)

※シグマ公式で出てきた公式。 

 

解答

数学的帰納法で示す。

 

\(n=1\)の時

\(左辺=1\)

\(右辺=1\)

よって、\(n=1\)の時、命題は成立。

 

\(n=k\)の時

この時、命題が成立すると仮定する。すなわち以下を仮定。

 

\(1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}k(k+1)\biggr]^2\)

 

\(n=k+1\)の時

\(1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3+(k+1)^3=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}(k+1)(k+2)\biggr]^2\) を示す。

 

\(左辺=\)\(1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3\)\(+(k+1)^3=\)\(\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}k(k+1)\biggr]^2\)\(+(k+1)^3\)

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}k^2+k+1\biggr)(k+1)^2\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}(k+1)(k+2)\biggr]^2=右辺\)

 

よって、成立。※青字部分が\(n=k\)での仮定による。

 

以上より、任意の自然数\(n\)について、問題の命題が成立する。

 

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