数列3 等比数列

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数列3 等比数列

 

 

等比数列とは

数列の隣り合う二項の比(公比という)が等しい数列。

\(2 , 4 , ,8 , 16 , 32 , 64\)\(\cdots\)      初項\(2\)、公比\(2\)の等比数列。

 

 一般項

\(a\)は初項、\(r\)は公比。

等差数列なので、\(a_{n}=ra_{n-1}\) という式を満たす。これを繰り返すと

 

\(a_{n}=ra_{n-1}=r^2 a_{n-2}=r^{n-1} a_{1}=\)\(ar^{n-1}\)

これも等差数列と同様に、1ずれることに注意する。

 

等比数列の和

和は、次のように書ける。

 \(S_{n}=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^{n-1}\)     ……①

 

①の両辺を\(r\)倍する。※うまく相殺させるため。

\(rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^{n-1}+ar^n\)     ……②

 

①-②を計算すると

\((1-r)S_{n}=a(1-r^n)\)

 

\(r\neq 1\)の時、両辺を\(1-r\)で割ると

\(S_{n}=\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)     となる。

 

\(r=1\)の時は全ての項が初項と同じ値となり、\(S_{n}=na\)となる。

 

問題

\(2 , 6 , 18 , 54 , 162 \)\(\cdots\) という等比数列{\(a_{n}\)} を考える。

 

1番

一般項を求めよ。

 

2番

総和を求めよ。

 

 

解答

1番

初項は\(2\)、公比は\(3\) であるので公式から

 

\(a_{n}=2\cdot 3^{n-1}\)

 

2番

総和公式を適用する。(\(r\neq 1\)なのでそちらを適用。)

 

\(S_{n}=\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\displaystyle\frac{2(1-3^n)}{1-3}=\)\(3^n-1\)

 

 

※公式に関してですが、一般項と総和公式で\(n\)だったり、\(n-1\)だったりとするので混乱した時のために導出できるようにしておくと良いでしょう。

 

 

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