数列4 シグマ記号

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数列4 \(\Sigma\)記号

 

 

\(\Sigma\) とは

シグマとは和(足し算)のことです。

 

\(\displaystyle\sum\)という記号を使います。見たことある人は多いと思います。

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}\) という記号の意味

 

\(a_{k}\)を\(k=1\)から\(n\)まで足し合わせたもの。つまり等式で書くと

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}\)  となります。

 

 

公式

2から4番は暗記するのが普通かと思われます。

 

1番

 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=cn\)

 

この式は、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=c+c+c+c+\cdots +c=cn\) ということです。

 

2番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)

 

3番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

 

4番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\biggr]^2\)

 

5番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\displaystyle\frac{1-r^k}{1-r}\)

※等比数列の和の公式をシグマ記号を用いて書いただけです。

 

問題

1番

 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)\)

 

2番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2^k+1)\)

 

 

解答

1番

 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 +\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\)

ここで公式利用。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)[(2n+1)+3]\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)

 

 

2番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2^k+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1\)

 

ここで公式利用。第一項は公式というよりは普通の等比数列の和の計算です。

 

\(=\displaystyle\frac{2(2^n-1)}{2-1}+n\)

 

\(=2^{n+1}+n-2\)

 

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