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数列4 \(\Sigma\)記号
\(\Sigma\) とは
シグマとは和（足し算）のことです。
\(\displaystyle\sum\)という記号を使います。見たことある人は多いと思います。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}\) という記号の意味
\(a_{k}\)を\(k=1\)から\(n\)まで足し合わせたもの。つまり等式で書くと
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}\) となります。
公式
2から4番は暗記するのが普通かと思われます。
1番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=cn\)
この式は、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=c+c+c+c+\cdots +c=cn\) ということです。
2番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)
3番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
4番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\biggr]^2\)
5番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\displaystyle\frac{1-r^k}{1-r}\)
※等比数列の和の公式をシグマ記号を用いて書いただけです。
問題
1番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)\)
2番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2^k+1)\)
解答
1番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 +\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\)
ここで公式利用。
\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)[(2n+1)+3]\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)
2番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2^k+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1\)
ここで公式利用。第一項は公式というよりは普通の等比数列の和の計算です。
\(=\displaystyle\frac{2(2^n-1)}{2-1}+n\)
\(=2^{n+1}+n-2\)