数列5 階差数列
階差数列とは
数列{\(a_{n}\)}に対して\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\)として定められる{\(b_{n}\)}を階差数列という。
階差数列の問題は、{\(b_{n}\)}を通じて{\(a_{n}\)}を求めるという問題になります。
上の式の\(n\)の値を変化させる。
\(b_{n-1}=a_{n}-a_{n-1}\)
\(b_{n-2}=a_{n-1}-a_{n-2}\)
\(\cdots\)
\(b_{1}=a_{2}-a_{1}\)
これらを足すと \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}=a_{n}-a_{1}\) （\(n\geq 2\)） で、変形すると
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\) （\(n\geq 2\)） となります。
問題
一般項{\(a_{n}\)}を求めよ。
\(1 , 2 , 6 , 15 , 31 , 56\)\(\cdots\)
解説
階差数列{\(b_{n}\)} を求める。
{\(b_{n}\)}は \(1 , 4 , 9 , 16 , 25\)\(\cdots\)より \(b_{n}=n^2\)
ここで\(n\geq 2\)の時
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2=1+\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}n^3-\displaystyle\frac{1}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{6}n+1\)
これは\(n=1\)でも成り立つ。（上の式で\(n=1\)の時に\(1\)になるので）
答え
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}n^3-\displaystyle\frac{1}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{6}n+1\)