数列5 階差数列

シェアする

 

数列5 階差数列

 

階差数列とは

数列{\(a_{n}\)}に対して\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\)として定められる{\(b_{n}\)}を階差数列という。

 

階差数列の問題は、{\(b_{n}\)}を通じて{\(a_{n}\)}を求めるという問題になります。

 

上の式の\(n\)の値を変化させる。

\(b_{n-1}=a_{n}-a_{n-1}\)

\(b_{n-2}=a_{n-1}-a_{n-2}\)

\(\cdots\)

\(b_{1}=a_{2}-a_{1}\)

 

これらを足すと  \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}=a_{n}-a_{1}\)       (\(n\geq 2\)) で、変形すると

 

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\)       (\(n\geq 2\)) となります。

 

 

問題

一般項{\(a_{n}\)}を求めよ。

 

\(1 , 2 , 6 , 15 , 31 , 56\)\(\cdots\)

 

解説

階差数列{\(b_{n}\)} を求める。

 

{\(b_{n}\)}は \(1 , 4 , 9 , 16 , 25\)\(\cdots\)より  \(b_{n}=n^2\)

 

ここで\(n\geq 2\)の時

 

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2=1+\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}n^3-\displaystyle\frac{1}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{6}n+1\)

 

これは\(n=1\)でも成り立つ。(上の式で\(n=1\)の時に\(1\)になるので)

 

答え

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}n^3-\displaystyle\frac{1}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{6}n+1\)

 

 

シェアする