数列8 基本漸化式

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数列8 基本漸化式

 

 

漸化式

漸化式とは、隣接する2項や3項の関係式のこと。

\(a_{n+1}=3a_{n}\)

\(a_{n+2}=a_{n+1}-2a_{n}\)

 

このような、漸化式から一般項{\(a_{n}\)} を求めようというのが今回の問題です。

 

問題

全て、\(a_{1}=1\)とする。

 

① \(a_{n+1}=a_{n}+3\)

② \(a_{n+1}=3a_{n}\)

③ \(a_{n+1}=a_{n}+6n\) 

 

 

解答

1番

式の意味を考えます。第\(n\)項に\(3\)を足すと第\((n+1)\)項になるということです。

つまり、{\(a_{n}\)} は等差数列となるのです。初項が\(1\)なので 

 

\(a_{n}=a+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2\)

 

2番

式の意味は、第\(n\)項に\(3\)をかけると第\((n+1)\)項になるということです。

 

つまり、等比数列となっています。初項が\(1\)なので 

 

\(a_{n}=ar^{n-1}=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}\)

 

3番

式の意味が先ほどの二問に比べると難しいでしょうか。

\(a_{n+1}-a_{n}=6n\)としてみるとわかるかもしれませんが、階差数列です。

 

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 6k=1+\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 6=3n^2-3n+1\)

 

\(n=1\)でも成立している。

 

実際に計算して代入すると検算できるので、試験で時間が余ればすると良いでしょう。

 

まとめ

\(a_{n+1}=a_{n}+d\)  \(\cdots\)      公差\(d\)の等差数列

 

\(a_{n+1}=ra_{n}\)  \(\cdots\)      公比\(r\)の等比数列

 

\(a_{n+1}=a_{n}+f(n)\)  \(\cdots\)      階差数列

 

 

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