数列8 基本漸化式
漸化式
漸化式とは、隣接する2項や3項の関係式のこと。
例
\(a_{n+1}=3a_{n}\)
\(a_{n+2}=a_{n+1}-2a_{n}\)
このような、漸化式から一般項{\(a_{n}\)} を求めようというのが今回の問題です。
問題
全て、\(a_{1}=1\)とする。
① \(a_{n+1}=a_{n}+3\)
② \(a_{n+1}=3a_{n}\)
③ \(a_{n+1}=a_{n}+6n\)
解答
1番
式の意味を考えます。第\(n\)項に\(3\)を足すと第\((n+1)\)項になるということです。
つまり、{\(a_{n}\)} は等差数列となるのです。初項が\(1\)なので
\(a_{n}=a+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2\)
2番
式の意味は、第\(n\)項に\(3\)をかけると第\((n+1)\)項になるということです。
つまり、等比数列となっています。初項が\(1\)なので
\(a_{n}=ar^{n-1}=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}\)
3番
式の意味が先ほどの二問に比べると難しいでしょうか。
\(a_{n+1}-a_{n}=6n\)としてみるとわかるかもしれませんが、階差数列です。
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 6k=1+\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 6=3n^2-3n+1\)
\(n=1\)でも成立している。
実際に計算して代入すると検算できるので、試験で時間が余ればすると良いでしょう。
まとめ
\(a_{n+1}=a_{n}+d\) \(\cdots\) 公差\(d\)の等差数列
\(a_{n+1}=ra_{n}\) \(\cdots\) 公比\(r\)の等比数列
\(a_{n+1}=a_{n}+f(n)\) \(\cdots\) 階差数列