数列9 漸化式\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)型

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漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)型

漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)型

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\) (…①)で表される漸化式を考えます。

これを解ける形に持っていくため、等比の形にすることを考えます。

\(a_{n+1}-c=p(a_{n}-c)\)の形を目標にします。変形すると、

\(a_{n+1}=pa_{n}+(c-pc)\)

①と比較して、変形すると、\(c=pc+q\) がわかる。

これは、①で、\(a_{n+1}=a_{n}=c\)とした式で、特性方程式と呼ばれる。

これだけ聞いてもあれなので、例題をしてみます。 

例題

1番

\(a_{1}=1\)      \(a_{n+1}=2a_{n}+2\) の一般項を求めよ。

2番

\(a_{1}=3\)      \(a_{n+1}=-a_{n}+2\) の一般項を求めよ。

解答

1番

特性方程式、\(c=2c+2\)を解いて\(c=-2\)であることから

\(a_{n+1}+2=2(a_{n}+2)\) と変形できる。

数列{\(a_{n}+2\)}は、初項\(a_{1}+2=3\)、公比\(2\)の等比数列。

\(a_{n}+2=3\cdot 2^{n-1}\)  なので、一般項\(a_{n}\)は

\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\)

2番

特性方程式、\(c=-c+2\)を解いて、\(c=1\)であることから

\(a_{n+1}-1=-(a_{n}-1)\) と変形できる。

数列{\(a_{n}-1\)}は、初項\(a_{1}+2=2\)、公比\(-1\)の等比数列。

\(a_{n}-1=2\cdot (-1)^{n-1}\)  なので、一般項\(a_{n}\)は

\(a_{n}=2\cdot (-1)^{n-1}+1\)

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