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漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)型
漸化式 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)型
\(a_{n+1}=pa_{n}+q\) （…①）で表される漸化式を考えます。
これを解ける形に持っていくため、等比の形にすることを考えます。
\(a_{n+1}-c=p(a_{n}-c)\)の形を目標にします。変形すると、
\(a_{n+1}=pa_{n}+(c-pc)\)
①と比較して、変形すると、\(c=pc+q\) がわかる。
これは、①で、\(a_{n+1}=a_{n}=c\)とした式で、特性方程式と呼ばれる。
これだけ聞いてもあれなので、例題をしてみます。
例題
1番
\(a_{1}=1\) \(a_{n+1}=2a_{n}+2\) の一般項を求めよ。
2番
\(a_{1}=3\) \(a_{n+1}=-a_{n}+2\) の一般項を求めよ。
解答
1番
特性方程式、\(c=2c+2\)を解いて\(c=-2\)であることから
\(a_{n+1}+2=2(a_{n}+2)\) と変形できる。
数列{\(a_{n}+2\)}は、初項\(a_{1}+2=3\)、公比\(2\)の等比数列。
\(a_{n}+2=3\cdot 2^{n-1}\) なので、一般項\(a_{n}\)は
\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-2\)
2番
特性方程式、\(c=-c+2\)を解いて、\(c=1\)であることから
\(a_{n+1}-1=-(a_{n}-1)\) と変形できる。
数列{\(a_{n}-1\)}は、初項\(a_{1}+2=2\)、公比\(-1\)の等比数列。
\(a_{n}-1=2\cdot (-1)^{n-1}\) なので、一般項\(a_{n}\)は
\(a_{n}=2\cdot (-1)^{n-1}+1\)