目次
等差\(\times\)等比の和
問題
\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot3^2+4\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^{n-1}\) を求める
解答
\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot3^2+4\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^{n-1}\)
両辺を三倍する。（一つずつ項をずらすことで引き算後の係数の値を\(1\)に統一。）
\(3S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot3^3+4\cdot 3^4+\cdots +n\cdot 3^n\)
辺々引くと
\(-2S=1+1\cdot 3+1\cdot3^2+1\cdot 3^3+\cdots +1\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^n\)
\(=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+\cdots +\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^n\)
\(=\displaystyle\frac{3^n-1}{3-1}-n\cdot 3^n\) （等比数列の和の公式）
\(=\displaystyle\frac{3^n}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}-n\cdot 3^n\)
よって求める値\(S\)は \(S=\displaystyle\frac{2n\cdot 3^n-3^n+1}{4}\)
別解
\(T=1\cdot x^0+2\cdot x^1+3\cdot x^2+4\cdot x^3+\cdots +n\cdot x^{n-1}\) を考えると
\(T=(C+x+x^2+x^3+\cdots +x^n)^{\prime}\)
\(=\biggl(C+x\displaystyle\frac{x^n-1}{x-1}\biggr)^{\prime}=\displaystyle\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}\)
ここで\(x=3\)としたものが求める\(S\)であるので
\(\displaystyle\frac{n\cdot 3^{n+1}-(n+1)\cdot 3^n+1}{(3-1)^2}\)\(=\displaystyle\frac{2n\cdot 3^n-3^n+1}{4}\)
一般
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot r^k$ を求める。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^k＝\displaystyle\frac{r(1-r^n)}{1-r}$ が成り立ち、これを微分すると
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot r^{k-1}=\displaystyle\frac{1-(1+n)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}$
両辺$r$倍すると
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot r^{k}=\displaystyle\frac{r-(1+n)r^{n+1}+nr^{n+2}}{(1-r)^2}$$
