楕円 接線方程式

二次曲線
スポンサーリンク

[mathjax]

楕円 接線方程式

楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$の点$P(p,q)$における接線は

$\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1$と書ける。

 

証明

点$P(p,q)$での接線を考えていく。

 

$p\neq \pm a$のとき

 

楕円方程式の両辺を$x$で微分すると

$\displaystyle\frac{2x}{a^2}+\displaystyle\frac{dy}{dx}\displaystyle\frac{2y}{b^2}=0$

 

ここから点Pでの接線の傾きは$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{pb^2}{qa^2}$とわかる。接線方程式は

$y=-\displaystyle\frac{pb^2}{qa^2}(x-p)+q=-\displaystyle\frac{pb^2}{qa^2}x+\displaystyle\frac{p^2b^2}{qa^2}+q$

$-\displaystyle\frac{pb^2}{qa^2}x+\displaystyle\frac{b^2}{q}\left(1-\displaystyle\frac{q^2}{b^2}\right)+q$

$=-\displaystyle\frac{pb^2}{qa^2}x+\displaystyle\frac{b^2}{q}$

※点Pは楕円上の点なので、$\displaystyle\frac{p^2}{a^2}+\displaystyle\frac{q^2}{b^2}=1$を用いた。

 

これを整理すると、接線方程式は、$\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1$となる。

$x=\pm a$のとき

傾きがうまく定義できないので場合分けしています。この場合、$y=0$なので代入すると、上の接線に当てはまることが分かる。

 

まとめ

接線は、$\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1$となる。$a=b$(円の場合)とすると円の接線方程式と一致していることが分かる。

 

※同様に双曲線の接線方程式は$\displaystyle\frac{px}{a^2}-\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1$となる。

 

タイトルとURLをコピーしました