2倍角、3倍角公式の2通りの証明

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2倍角、3倍角公式の証明を加法定理による方法、ド・モアブルの定理による方法で証明します。

 

 

加法定理

加法定理を用いて証明します。加法定理に代入するだけです。

 

以下のページと内容被ります。

二倍角、三倍角公式、半角公式の一覧及び、公式の証明です。

 

2倍角公式

\(\sin 2x\)\(=\sin (x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=\)\(2\sin x\cos x\)

 

\(\cos 2x\)\(=\cos (x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\)\(\cos ^2 x-\sin ^2 x\)

 

 \(\tan 2x\)\(=\tan (x+x)=\displaystyle\frac{\tan x+\tan x}{1-\tan x\tan x}=\)\(\displaystyle\frac{2\tan x}{1-\tan ^2 x}\)

 

3倍角公式

\(\sin 3x\)\(=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\)

\(=2\sin x(1-\sin ^2 x)+(1-2\sin ^2 x)\sin x=\)\(3\sin x-4\sin ^3 x\)

 

\(\cos 3x\)\(=\cos (2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\)

\(=(2\cos ^2 x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos ^2 x)=\)\(4\cos ^3 x-3\cos x\)

 

 

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理を使うと2倍角公式、3倍角公式の証明ができます。

 

※ド・モアブルの定理とは?

\((\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx\) となる定理。

(\(x\)度回転を\(n\)回)\(=\)(\(nx\)度回転)

複素数的に考えるとわかる。

 

2倍角公式

上の定理で\(n=2\)とします。

\(\cos^2 x-\sin ^2 x+2i\sin x\cos x=\cos 2x+i\sin 2x\)

 

実部、虚部を比較すると

\(\cos^2 x-\sin ^2 x=\cos 2x\)

\(2\sin x\cos x=\sin 2x\)

が導出できる。

 

3倍角公式

上の定理で\(n=3\)とします。

\(\cos^3 x-3\cos x\sin ^2 x+i(3\cos ^2 x\sin x-\sin ^3 x)=\cos 3x+i\sin 3x\)

\((4\cos ^3 x-3\cos x)+i(3\sin x-4\sin ^3 x)=\cos 3x+i\sin 3x\)

 

実部と虚部を比較すると

\(4\cos ^3 x-3\cos x=\cos 3x\)

\(3\sin x-4\sin ^3 x=\sin 3x\)

が導出できる。

 

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