二倍角、三倍角公式、半角公式

2倍角公式

公式

\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)

\(\cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2\theta\)

\(\tan\theta=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)

証明

加法定理で\((\theta+\theta)\)のように代入するだけです。

\(\sin 2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\)\(=2\sin\theta\cos\theta\)

\(\cos 2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\)\(=2\cos^2\theta-1=1-\sin^2 \theta\)

\(\tan 2\theta=\tan(\theta+\theta)=\displaystyle\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\)\(\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\)

※\(\tan 2\theta\)は次のようにしてもよい。

\(\tan 2\theta=\displaystyle\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=\displaystyle\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\)\(=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\)

最後は分子分母を\(\cos^2 \theta\)で割った。

3倍角公式

公式

\(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)

\(\tan 3\theta=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)

証明

加法定理で\((2\theta+\theta)\)と代入して、途中で二倍角公式を利用します。

\(\sin 3\theta\)

\(\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta\)

\(=2\sin\theta\cos\theta\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\)　二倍角公式

\(=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\)

\(=3\sin\theta-4\sin^3 \theta\)

\(\cos 3\theta\)

\(\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta\)

\(=(2\cos^2 \theta-1)\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta\sin\theta\)　二倍角公式

\(=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2 \theta)\)

\(=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)

\(\tan 3\theta\)  その1

\(\tan 3\theta=\tan(2\theta+\theta)=\displaystyle\frac{\tan 2\theta+\tan\theta}{1-\tan 2\theta\tan\theta}\)

\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}+\tan\theta}{1-\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\cdot\tan\theta}\)　二倍角公式

\(=\displaystyle\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)-2\tan^2 \theta}\)　　分子分母に\((1-\tan^2 \theta)\)をかける。

\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)

\(\tan 3\theta\)  その2

\(\tan 3\theta=\displaystyle\frac{\sin 3\theta}{\cos 3\theta}=\displaystyle\frac{3\sin\theta-4\sin^3 \theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}\)

\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-4\sin^2 \theta\tan\theta}{4\cos^2\theta-3}=\displaystyle\frac{3\tan\theta-4(1-\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2 \theta})\tan\theta}{4\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\theta}-3}\)

\(=\displaystyle\frac{-\tan\theta-\tan^3\theta+4\tan\theta}{4-3-3\tan^2\theta}\)\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)

半角公式

公式

\(\sin^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{2}\)

\(\cos^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\theta}{2}\)

証明

\(\cos \alpha\)の2倍角公式から導きます。

①　\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\)を式変形すると\(\sin^2 \alpha=\displaystyle\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\)

\(\theta=2\alpha\)とすると\(\sin^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{2}\)

②　\(\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)を式変形すると\(\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\)

\(\theta=2\alpha\)とすると\(\cos^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\theta}{2}\)