余弦定理と三平方の定理

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余弦定理

まずは余弦定理について。

 

 

 

三辺の長さをそれぞれ\(a\)、\(b\)、\(c\) として角BACを\(\theta\)とおく。

このとき\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta\) という関係式が成立する。

これを余弦定理という。

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)の時

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos \theta=0\) となる。

 

このとき、余弦定理は\(a^2=b^2+c^2\)となるが、これは三平方の定理そのものである。

余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。

 

\(\theta\) が鋭角の時

\(\cos \theta>0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鋭角の時に\(a^2<b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

\(\theta\) が鈍角の時

\(\cos \theta<0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鈍角の時に \(a^2>b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

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