余弦定理 

三角関数
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余弦定理

下の三角形において、

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$

という関係式が成り立つ。これを余弦定理という。

文字が小さくてすみません。。

 

 

 

証明

点CからABに垂線をおろして交点をHとします。

$AH=b\cos\theta$となるので、△ACHと△BCHに三平方の定理を適用して

 

$CH^2=b^2-(b\cos\theta)^2=a^2-(c-b\cos\theta)^2$

 

これを右側の等号に関して整理すると

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$

となり、証明完了。鈍角の場合も同様にできます。

 

ベクトル

余弦定理をベクトルで書くと、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$の展開公式そのものになる。

 

$|\vec{AB}-\vec{AC}|^2=|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}$

 

$|\vec{BC}|^2=|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos\theta$

 

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$

 

となるため。

 

三平方の定理

余弦定理と三平方の定理の関係性です。

 

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)の時

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos \theta=0\) となる。

 

このとき、余弦定理は\(a^2=b^2+c^2\)となるが、これは三平方の定理そのものである。

余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。

 

\(\theta\) が鋭角の時

\(\cos \theta>0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鋭角の時に\(a^2<b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

\(\theta\) が鈍角の時

\(\cos \theta<0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鈍角の時に \(a^2>b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

 

 

 

 

 

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