ヘロン公式

三角関数
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ヘロン公式

三辺が分かっている場合の三角形の面積を求める公式になります。

 

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$  ※$s=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}$

 

 

証明

 

$S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C$

$=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2 C}$

$=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$

$=\displaystyle\frac{1}{2}ab\displaystyle\frac{1}{2ab}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}$

$=\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+2ab-c^2)(-a^2-b^2+2ab+c^2)}$

$=\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{((a+b)^2-c^2)(-(a-b)^2+c^2)}$

$=\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)}$

$=\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2c)(2s-2a)(2s-2b)}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

 

例題

三辺の長さが$5,6,7$の三角形の面積を求める。

 

$s=\displaystyle\frac{5+6+7}{2}=9$なので

 

$S=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=6\sqrt{6}$

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