積和、和積公式まとめ

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この公式は加法定理から出せるので覚えなくてよい。

 

積和公式

一覧

① \(\sin \alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\biggr]\)

 

② \(\cos \alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\biggr]\)

 

③ \(\cos \alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\biggr]\)

 

④ \(\sin \alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\biggr]\)

 

証明

加法定理から導きます。

 

・\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)

 

① 二つを足して整理すると \(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\biggr]=\sin \alpha\cos\beta\)

 

② 引いて整理すると \(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\biggr]=\cos \alpha\sin\beta\)

 

 

・\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

 

③ 二つを足して整理すると \(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\biggr]=\cos \alpha\cos\beta\)

 

④ 引いて整理すると \(-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\biggr]=\sin \alpha\sin\beta\)

 

 

和積公式

一覧

⑤ \(\sin A+\sin B=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

 

⑥ \(\sin A-\sin B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

 

⑦ \(\cos A+\cos B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

 

⑧ \(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

 

証明

積和の公式を書き直す。

 

①~④で \(A=\alpha+\beta\)、\(B=\alpha-\beta\) と置換する。

 

\(\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}\) と書き換えると⑤~⑧を得る。

 

 

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