ベクトル解析10 グリーンの定理

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グリーンの定理

 

グリーンの定理

以下です。

 

\(\displaystyle\int_{S} \psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n} dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)

 

また、次のように書くこともある。

\(\displaystyle\int_{S} \biggl(\psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}\biggr)  dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi-\phi\nabla^2\psi)dv\)

 

証明

ガウスの発散定理において、\(\psi\nabla\phi\)と置いたものがグリーンの定理です。

 

発散定理より

\(\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{n}\cdot(\psi\nabla\phi)dS=\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)dv\)

 

左辺

\(\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{n}\cdot(\psi\nabla\phi)dS=\displaystyle\int_{S}\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}dS\)

 

右辺

ベクトル解析の公式より

\(\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)=\nabla\cdot(\psi\nabla\phi)=\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi\)

が成立するので

 

\(\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)dv=\displaystyle\int_{V}(\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)

 

結果

まとめると

\(\displaystyle\int_{S}\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}dS=\displaystyle\int_{V}(\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)

が得られる。

 

\(\psi\)と\(\phi\)を入れ替えると

\(\displaystyle\int_{S}\phi\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}dS=\displaystyle\int_{V}(\phi\nabla^2\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi)dv\)

 

辺々引くと

\(\displaystyle\int_{S} \biggl(\psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}\biggr)  dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi-\phi\nabla^2\psi)dv\)

が得られる。

 

グリーンの定理

これとは別に、ストークスの定理の特殊な場合としてのグリーンの定理もある。

 

\(\displaystyle\oint_{C} (Pdx+Qdy)=\displaystyle\int_{D}\biggl(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)dxdy\)

 

 

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