グリーンの定理
グリーンの定理
以下です。
\(\displaystyle\int_{S} \psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n} dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)
また、次のように書くこともある。
\(\displaystyle\int_{S} \biggl(\psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}\biggr) dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi-\phi\nabla^2\psi)dv\)
証明
ガウスの発散定理において、\(\psi\nabla\phi\)と置いたものがグリーンの定理です。
発散定理より
\(\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{n}\cdot(\psi\nabla\phi)dS=\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)dv\)
左辺
\(\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{n}\cdot(\psi\nabla\phi)dS=\displaystyle\int_{S}\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}dS\)
右辺
ベクトル解析の公式より
\(\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)=\nabla\cdot(\psi\nabla\phi)=\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi\)
が成立するので
\(\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}(\psi\nabla\phi)dv=\displaystyle\int_{V}(\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)
結果
まとめると
\(\displaystyle\int_{S}\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}dS=\displaystyle\int_{V}(\psi\nabla^2\phi+\nabla\psi\cdot\nabla\phi)dv\)
が得られる。
\(\psi\)と\(\phi\)を入れ替えると
\(\displaystyle\int_{S}\phi\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}dS=\displaystyle\int_{V}(\phi\nabla^2\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi)dv\)
辺々引くと
\(\displaystyle\int_{S} \biggl(\psi \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial n}\biggr) dS=\displaystyle\int_{V} (\psi\nabla^2 \phi-\phi\nabla^2\psi)dv\)
が得られる。
グリーンの定理
これとは別に、ストークスの定理の特殊な場合としてのグリーンの定理もある。
\(\displaystyle\oint_{C} (Pdx+Qdy)=\displaystyle\int_{D}\biggl(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)dxdy\)