ベクトル解析4 レビチビタ記号
レビチビタ記号
レビチビタ記号は以下のようなもの。便利なので導入された。
\(\epsilon_{ijk}\) ※\(i , j , k =1 , 2 , 3\)
① \(\epsilon_{123}=1\)
② 添え字に同じ数字があれば\(0\)。\(\epsilon_{113}=0\)など。
③ \(\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1\)
\(\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1\)
※奇数回の置換で\(\epsilon_{123}\) にできるものを\(-1\)、偶数回の置換で\(\epsilon_{123}\) にできるものを\(1\)と定義している。
重要公式
\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\)\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\)\(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)
※\(\delta\) は「クロネッカーのデルタ」と呼ばれるもので、添え字が同じ時に\(1\)、違うときに\(0\) をとる。
※証明は全ての場合を試したらそれで良いです。単純ですが大変です。
また、レビチビタ記号を使うと外積が以下のように書ける。
\([\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}]_{i}=\epsilon_{ijk}\boldsymbol{A}_{j} \boldsymbol{B}_{k}\)
※ベクトル解析の種々の公式の証明(外積関連)でよく使用される。