ベクトル解析4　レビチビタ記号

[mathjax]

レビチビタ記号は以下のようなもの。便利なので導入された。

\(\epsilon_{ijk}\) ※\(i , j , k =1 , 2 , 3\)

①　\(\epsilon_{123}=1\)

②　添え字に同じ数字があれば\(0\)。\(\epsilon_{113}=0\)など。

③　\(\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1\)

　　\(\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1\)

※奇数回の置換で\(\epsilon_{123}\) にできるものを\(-1\)、偶数回の置換で\(\epsilon_{123}\) にできるものを\(1\)と定義している。

\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\)\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\)\(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)

※\(\delta\) は「クロネッカーのデルタ」と呼ばれるもので、添え字が同じ時に\(1\)、違うときに\(0\) をとる。

※証明は全ての場合を試したらそれで良いです。単純ですが大変です。

また、レビチビタ記号を使うと外積が以下のように書ける。

\([\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}]_{i}=\epsilon_{ijk}\boldsymbol{A}_{j} \boldsymbol{B}_{k}\)

※ベクトル解析の種々の公式の証明(外積関連)でよく使用される。