ベクトル解析5 重要公式
公式
まずは証明の前にものをみておきましょう。
\(\mathrm{div} \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)
\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)
\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)
電磁気学など、ほかのところでもよく出てくる公式です。
証明
※以下、\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}=\partial_{y}\)のようにかいている。
1番
\(\mathrm{div} \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\)(\(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\) , \(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\) , \(\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x}\)) であるので、
\(\mathrm{div} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)
\(=\partial_{x}\)\((\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y})\)\(+\partial_{y}\)\((\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z})\)\(+\partial_{z}\)\((\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x})\)
\(=\partial_{x}\partial_{y}A_{z}-\partial_{x}\partial_{z}A_{y}+\partial_{y}\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}\partial_{y}A_{z}+\partial_{x}\partial_{z}A_{y}-\partial_{y}\partial_{z}A_{x}\)
\(=0\)
2番
\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)
これの\(x\)成分について考えると
\([\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi]_{x}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial z}-\displaystyle\frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}=0\)
他の成分についても同様なので
\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\) が成立する。
3番
\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)
この証明で「レビチビタ記号」を使います。※使わなくても証明できますが、大変です。
2回使っているので少し添え字記号ややこしいですが以下証明です笑
\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})\)
\(=\epsilon_{ijk}\partial_{i}(\nabla\times\boldsymbol{A})_{j}=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\epsilon_{lmj}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)
\(=\epsilon_{kij}\epsilon_{lmj}\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)
\(=(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)
ここで、レビチビタ記号に関する等式、\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)を使用した。
\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\) で
第一項が生き残るのは \(k=l\) かつ \(i=m\) のときで、この時 \(1\cdot \partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}\)
第二項が生き残るのは \(k=m\) かつ \(i=l\) のときで、この時 \(-1\cdot \partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)
よってまとめると
\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}=\partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}-\partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)
\(=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)