ベクトル解析5 重要公式

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ベクトル解析5 重要公式

公式

まずは証明の前にものをみておきましょう。

\(\mathrm{div}  \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)

\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)

\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)

電磁気学など、ほかのところでもよく出てくる公式です。

 証明

※以下、\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}=\partial_{y}\)のようにかいている。

1番

\(\mathrm{div} \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\)(\(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\) , \(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\) , \(\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x}\)) であるので、

\(\mathrm{div} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

\(=\partial_{x}\)\((\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y})\)\(+\partial_{y}\)\((\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z})\)\(+\partial_{z}\)\((\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x})\)

\(=\partial_{x}\partial_{y}A_{z}-\partial_{x}\partial_{z}A_{y}+\partial_{y}\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}\partial_{y}A_{z}+\partial_{x}\partial_{z}A_{y}-\partial_{y}\partial_{z}A_{x}\)

\(=0\)

2番 

\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)

これの\(x\)成分について考えると

\([\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi]_{x}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial z}-\displaystyle\frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}=0\)

他の成分についても同様なので

\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)  が成立する。

3番 

\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)

 ここで、「レビチビタ記号」(前の記事で書きました。)を使います。※使わなくても証明できますが、大変です。

\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})\)

\(=\epsilon_{ijk}\partial_{i}(\nabla\times\boldsymbol{A})_{j}=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\epsilon_{lmj}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

\(=\epsilon_{kij}\epsilon_{lmj}\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

\(=(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

ここで、レビチビタ記号に関する等式、\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)を使用した。

\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\)

第一項が生き残るのは \(k=l\) かつ \(i=m\) のときで、この時 \(1\cdot \partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}\)

第二項が生き残るのは \(k=m\) かつ \(i=l\) のときで、この時 \(-1\cdot \partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)

よってまとめると

\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}=\partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}-\partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)

\(=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)

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