ベクトル解析6 n乗の問題

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ベクトル解析6 n乗の問題

 

 

問題

① \(\nabla^2 r^n\)

② \(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})\)

③ \(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})\)

 

解答

 

以下、変形の途中で

① \(\mathrm{div} (\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\cdot \boldsymbol{A}+\phi \mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

② \(\nabla r^n=nr^{n-2} \boldsymbol{r}\)    の変形を使っている。

 

1番

\(\nabla^2 r^n\)

 

\(=\nabla\cdot(\nabla r^n)\)  \(\cdots\)  スカラー関数ではこの変形が可能。

\(=\nabla\cdot(nr^{n-2} \boldsymbol{r})\)  \(\cdots\)  ②を使って変形。

\(=n(\nabla r^{n-2}\cdot \boldsymbol{r}+r^{n-2}\nabla\cdot \boldsymbol{r})\)   \(\cdots\)   ①の公式を利用。

\(=n[(n-2)r^{n-4}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^{n-2}]\)  \(\cdots\)   ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。 

 

整理すると以下が答えとなる。

\(n(n+1)r^{n-2}\)

 

\(n=-1\) のとき \(\nabla^2 \displaystyle\frac{1}{r}=0\) という式も重要。

 

2番

\(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla (r^n \boldsymbol{r})\)

\(=\nabla r^n\cdot \boldsymbol{r}+r^n \nabla\cdot \boldsymbol{r}\)  \(\cdots\)    ①の公式を利用。

\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^n\)   \(\cdots\)    ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。 

 \(=(n+3)r^n\)

 

\(r=-3\) のとき \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)

 

3番

\(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla r^n\times \boldsymbol{r}+r^n \nabla\times \boldsymbol{r}\)   \(\cdots\) \(\mathrm{rot}\) に関しても同様の公式がありそれを利用。

\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{r}+r^n\cdot 0\)      \(\cdots\)   ②および\(\mathrm{rot} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) を使用。

\(=0\)

 

 

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