ベクトル解析6 n乗の問題
問題
① \(\nabla^2 r^n\)
② \(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})\)
③ \(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})\)
解答
以下、変形の途中で
① \(\mathrm{div} (\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\cdot \boldsymbol{A}+\phi \mathrm{div}\boldsymbol{A}\)
② \(\nabla r^n=nr^{n-2} \boldsymbol{r}\) の変形を使っている。
1番
\(\nabla^2 r^n\)
\(=\nabla\cdot(\nabla r^n)\) \(\cdots\) スカラー関数ではこの変形が可能。
\(=\nabla\cdot(nr^{n-2} \boldsymbol{r})\) \(\cdots\) ②を使って変形。
\(=n(\nabla r^{n-2}\cdot \boldsymbol{r}+r^{n-2}\nabla\cdot \boldsymbol{r})\) \(\cdots\) ①の公式を利用。
\(=n[(n-2)r^{n-4}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^{n-2}]\) \(\cdots\) ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。
整理すると以下が答えとなる。
\(n(n+1)r^{n-2}\)
\(n=-1\) のとき \(\nabla^2 \displaystyle\frac{1}{r}=0\) という式も重要。
2番
\(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla (r^n \boldsymbol{r})\)
\(=\nabla r^n\cdot \boldsymbol{r}+r^n \nabla\cdot \boldsymbol{r}\) \(\cdots\) ①の公式を利用。
\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^n\) \(\cdots\) ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。
\(=(n+3)r^n\)
\(r=-3\) のとき \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)
3番
\(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla r^n\times \boldsymbol{r}+r^n \nabla\times \boldsymbol{r}\) \(\cdots\) \(\mathrm{rot}\) に関しても同様の公式がありそれを利用。
\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{r}+r^n\cdot 0\) \(\cdots\) ②および\(\mathrm{rot} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) を使用。
\(=0\)