ベクトル解析9 ストークスの定理

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ベクトル解析9 ストークスの定理

 

 

ストークスの定理

以下がストークスの定理。線積分と面積分の間の関係式です。

 

\(\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS=\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}\)

 

書き方は他にもある。

 

例題

 

\(\displaystyle\oint_{C} \mathrm{rot} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=-\displaystyle\int_{S} \Delta \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS\)   (\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}=0\)とする。)

 

解答

 

左辺=

 

\(\displaystyle\oint_{C} \mathrm{rot} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}\)

 

\(=\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{E})\cdot \boldsymbol{n} dS\)  (ストークスの定理

 

\(=\displaystyle\int_{S} [\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\Delta\boldsymbol{E} ]\cdot \boldsymbol{n} dS\)  (ベクトル解析の公式

 

\(=-\displaystyle\int_{S} \Delta \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS\) (\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}=0\)より)

 

 

 

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