ベクトル解析9 ストークスの定理
ストークスの定理
以下がストークスの定理。線積分と面積分の間の関係式です。
\(\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS=\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}\)
書き方は他にもある。
例題
\(\displaystyle\oint_{C} \mathrm{rot} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=-\displaystyle\int_{S} \Delta \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS\) （\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}=0\)とする。）
解答
左辺＝
\(\displaystyle\oint_{C} \mathrm{rot} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}\)
\(=\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{E})\cdot \boldsymbol{n} dS\) （ストークスの定理）
\(=\displaystyle\int_{S} [\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\Delta\boldsymbol{E} ]\cdot \boldsymbol{n} dS\) （ベクトル解析の公式）
\(=-\displaystyle\int_{S} \Delta \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS\) （\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}=0\)より）