ベクトル解析 問題

ベクトル解析
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勾配 

問題

① \(\nabla r\)     ② \(\nabla \displaystyle\frac{1}{r}\)     ③ \(\nabla r^n\)

 

※\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

 

解答

1番 

定義から考えていく。

 

\(\nabla r=\biggl(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial x} , \displaystyle\frac{\partial r}{\partial y} , \displaystyle\frac{\partial r}{\partial z}\biggr)\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial x}\)\(=\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\)\(\displaystyle\frac{x}{r}\)

 

同様に、 \(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial y}=\displaystyle\frac{y}{r}\)および\(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial z}=\displaystyle\frac{z}{r}\) なので

 

\(\nabla r=\biggl(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial x} , \displaystyle\frac{\partial r}{\partial y} , \displaystyle\frac{\partial r}{\partial z}\biggr)=\biggl(\displaystyle\frac{x}{r} , \displaystyle\frac{y}{r} , \displaystyle\frac{z}{r}\biggr)=\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r}\)

 

※ \(\boldsymbol{r}=(x , y , z)\) である。

 

2番

\(\nabla \displaystyle\frac{1}{r}=\biggl[\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr) , \displaystyle\frac{\partial }{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr) , \displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr)\biggr]\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr)\)\(=\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x\)

 

\(=-\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\)\(-\displaystyle\frac{x}{r^3}\)

 

同様に、 \(\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr)=-\displaystyle\frac{y}{r^3}\)および\(\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr)=-\displaystyle\frac{z}{r^3}\) なので

 

\(\nabla \displaystyle\frac{1}{r}=\biggl[\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr) , \displaystyle\frac{\partial }{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr) , \displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{1}{r}\biggr)\biggr]=\biggl(-\displaystyle\frac{x}{r^3} , -\displaystyle\frac{y}{r^3} , -\displaystyle\frac{z}{r^3}\biggr)=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)

 

3番 

\(\nabla r^n=\biggl(\displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial x} , \displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial y} , \displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial z}\biggr)\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial x}\)\(=\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{n}{2}}=\displaystyle\frac{n}{2}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{n}{2}-1}\cdot 2x=\)\(nxr^{n-2}\)

 

同様に、 \(\displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial y}=ny r^{n-2}\)および\(\displaystyle\frac{\partial (r^n)}{\partial z}=nzr^{n-2}\) なので

 

\(\nabla r^n=\biggl(\displaystyle\frac{\partial r^n}{\partial x} , \displaystyle\frac{\partial r^n}{\partial y} , \displaystyle\frac{\partial r^n}{\partial z}\biggr)=(nxr^{n-2} , nyr^{n-2} ,nzr^{n-2})=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\)

 

発散

問題

① \(\mathrm{div} \boldsymbol{r}\)     ② \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r}\)     ③ \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\) 

 

※\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

 

解答

\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\)

1番 

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{r}=\displaystyle\frac{\partial x}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial y}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial z}=3\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial x}{\partial x}\)というのは \(x\) を \(x\) で微分するということ。つまり、\(1\) となる。

 

2番

\(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)\)

 

ここで

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+x\cdot \biggl(-\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\displaystyle\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\)

 

同様に計算すると

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\displaystyle\frac{y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\displaystyle\frac{z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\)

 

なので、 \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\displaystyle\frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\displaystyle\frac{3}{r}-\displaystyle\frac{1}{r}\)\(=\displaystyle\frac{2}{r}\)

 

3番 

\(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)\)

 

ここで

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}+x\cdot \biggl(-\displaystyle\frac{3}{2}\biggr)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}\cdot 2x\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}-\displaystyle\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\)

 

同様に計算すると

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}-\displaystyle\frac{3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\)

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}-\displaystyle\frac{3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\) 

 

なので、 \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}-\displaystyle\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=\displaystyle\frac{3}{r^3}-\displaystyle\frac{3}{r^3}\)\(=0\)

 

$n$乗

問題

① \(\nabla^2 r^n\)

② \(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})\)

③ \(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})\)

 

解答

以下、変形の途中で

① \(\mathrm{div} (\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\cdot \boldsymbol{A}+\phi \mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

② \(\nabla r^n=nr^{n-2} \boldsymbol{r}\)    の変形を使っている。

 

1番

\(\nabla^2 r^n\)

\(=\nabla\cdot(\nabla r^n)\)  \(\cdots\)  スカラー関数ではこの変形が可能。

\(=\nabla\cdot(nr^{n-2} \boldsymbol{r})\)  \(\cdots\)  ②を使って変形。

\(=n(\nabla r^{n-2}\cdot \boldsymbol{r}+r^{n-2}\nabla\cdot \boldsymbol{r})\)   \(\cdots\)   ①の公式を利用。

\(=n[(n-2)r^{n-4}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^{n-2}]\)  \(\cdots\)   ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。 

\(=n(n+1)r^{n-2}\) \(\cdots\)  整理した。

 

\(n=-1\) のとき \(\nabla^2 \displaystyle\frac{1}{r}=0\) となるが、この式も重要。

 

2番

\(\mathrm{div} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla (r^n \boldsymbol{r})\)

\(=\nabla r^n\cdot \boldsymbol{r}+r^n \nabla\cdot \boldsymbol{r}\)  \(\cdots\)    ①の公式を利用。

\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^n\)   \(\cdots\)    ②の式および\(\nabla\cdot \boldsymbol{r}=3\)の変形。 

 \(=(n+3)r^n\)

 

\(r=-3\) のとき \(\mathrm{div} \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}=0\)

 

3番

\(\mathrm{rot} (r^n \boldsymbol{r})=\nabla r^n\times \boldsymbol{r}+r^n \nabla\times \boldsymbol{r}\)   \(\cdots\) \(\mathrm{rot}\) に関しても同様の公式がありそれを利用。

\(=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{r}+r^n\cdot 0\)      \(\cdots\)   ②および\(\mathrm{rot} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) を使用。

\(=0\)

 

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