[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)
思考
この積分は有名な積分で、ディリクレ積分と呼ばれます。
原点を避けるような経路を取ります。
計算
この経路を考えます。
\(f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}\) として留数定理より
\(\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz+\displaystyle\int_{-R}^{-r}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{C_{4}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=2\pi i\times(留数和)\)
右辺
経路内に極はないので\(0\)になります。
左辺第一項と第三項
二つの和を考えます。
\(\displaystyle\int_{-R}^{-r}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-R}^{-r}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx+\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{R}^{r}\displaystyle\frac{\cos (-x)+i\sin (-x)}{-x}(-dx)+\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{-\cos (x)+i\sin (x)}{x}dx+\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)
\(=2i\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)
\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\) （それぞれ\(r\to 0\)、\(R\to \infty\)にした。）
左辺第二項
\(z=Re^{i\theta}=R(\cos\theta+i\sin\theta)\)として、\(R\to \infty\)にする。
反時計回りに半周しているので、\(\theta\)は\(0\)～\(\pi\)。
※\(dz=Rie^{i\theta}d\theta\)
\(\biggl|\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz\biggr|\leq\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\biggl|\displaystyle\frac{e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta})}{Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}\biggr|d\theta\)
\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\biggl|e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta)}\biggr|d\theta\)
\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-R\sin\theta}d\theta\)
\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty} 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R\sin\theta}d\theta\)
\(\leq 2\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\frac{2}{\pi}\theta} d\theta\)
※\(0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)では\(\sin\theta\geq\displaystyle\frac{2\theta}{\pi}\)となる（グラフから分かる）
\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty} -\displaystyle\frac{\pi}{R}(e^{-R}-1)=0\)
※この部分の計算はジョルダンの補助定理を使用しても0になることが言える。
左辺第四項
\(z=re^{i\theta}\)として、\(r\to 0\)にする。
反時計回りに半周しているので、\(\theta\)は\(\pi\)～\(0\)。
※\(dz=ire^{i\theta}d\theta\)
\(\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{C_{4}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\displaystyle\frac{ire^{i\theta}e^{ire^{i\theta}}}{re^{i\theta}}d\theta=\displaystyle\int_{\pi}^{0}i d\theta\)\(=-\pi i\)
結果
\(\displaystyle\int_{r}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz+\displaystyle\int_{-R}^{-r}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{C_{4}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=2\pi i\times(留数和)\)
に上の結果を代入。
\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx-\pi i=0\) が成り立つので
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x} dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
