複素積分問題10

複素積分問題
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[mathjax]

 

問題

\(a>b\)として

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log(a+b\cos\theta) d\theta\)

 

 

計算

\(I(a)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log(a+b\cos\theta) d\theta\) とおく。 \(\cdots\) ①

 

\(z=e^{i\theta}\) とおくと  \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=iz\)、\(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)

これを使って計算する。

 

\(\displaystyle\frac{dI(a)}{da}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\oint  \displaystyle\frac{1}{a+b\cdot\frac{z+z^{-1}}{2}}\cdot \displaystyle\frac{dz}{iz}\)

 

\(=-i \displaystyle\oint \displaystyle\frac{dz}{bz^2+2az+b}\)

 

\(=-i\times 2\pi i\biggl[\displaystyle\frac{1}{2bz+2a}\biggr]_{z_{+}}\) \(z_{+}=\displaystyle\frac{-a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)は、\(|z|=1\)内の極。

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)

 

ここの計算は以下の方法でも良い。(こちらで解くと複素積分使わず解ける)

積分問題63番
積分問題63番  思考三角関数の積分なので\(t=\tan \displaystyle\frac{\theta}{2}\)の置き換えをします。 \(d\theta=\displaystyle\frac{2dt}{1+t^2}\)と\(\co

 

よって \(\displaystyle\frac{dI(a)}{da}=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)  なので

 

\(I(a)=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}da=\pi\log(a+\sqrt{a^2-b^2})+C\)   \(\cdots\) ②

 

積分定数

①に\(b=0\)代入 \(I(a)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log a d\theta=\pi\log a\)

②に\(b=0\)代入 \(I(a)=\pi\log(2a)+C\)

 

比較して \(C=-\pi\log 2\)

 

答え

\(I(a)=\pi\log\biggl(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\biggr)\)

 

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