[mathjax]
問題
\(a>b\)として
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log(a+b\cos\theta) d\theta\)
計算
\(I(a)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log(a+b\cos\theta) d\theta\) とおく。 \(\cdots\) ①
\(z=e^{i\theta}\) とおくと \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=iz\)、\(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)
これを使って計算する。
\(\displaystyle\frac{dI(a)}{da}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\oint \displaystyle\frac{1}{a+b\cdot\frac{z+z^{-1}}{2}}\cdot \displaystyle\frac{dz}{iz}\)
\(=-i \displaystyle\oint \displaystyle\frac{dz}{bz^2+2az+b}\)
\(=-i\times 2\pi i\biggl[\displaystyle\frac{1}{2bz+2a}\biggr]_{z_{+}}\) \(z_{+}=\displaystyle\frac{-a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)は、\(|z|=1\)内の極。
\(=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
ここの計算は以下の方法でも良い。（こちらで解くと複素積分使わず解ける）
よって \(\displaystyle\frac{dI(a)}{da}=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\) なので
\(I(a)=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}da=\pi\log(a+\sqrt{a^2-b^2})+C\) \(\cdots\) ②
積分定数
①に\(b=0\)代入 \(I(a)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \log a d\theta=\pi\log a\)
②に\(b=0\)代入 \(I(a)=\pi\log(2a)+C\)
比較して \(C=-\pi\log 2\)
答え
\(I(a)=\pi\log\biggl(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\biggr)\)
