複素積分問題12

複素積分問題
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問題

 

 

解答

\(f(z)=\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+z+1}\) として下の経路で積分。

 

① 分子を\((\mathrm{Log} z)^3\)にしていることに注意する。

※これは、後の計算から分かるが、\((\mathrm{Log} z)^3\)の項は相殺されて消えてしまい、\((\mathrm{Log} z)^2\)の項が最高次として残るためです。

 

② 対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。

 

ちなみに、この積分路は「keyhole contour(鍵穴積分路)」と呼ばれる。

 

留数定理より以下の等式が導かれる。

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+z+1}dz\)

 

\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+x+1} dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+z+1}dz\)

 

\(=2\pi i\times (留数和)\)

 

※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。

 

左辺第一項と第三項

\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+x+1} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+x+1}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+x+1} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2+12\pi^2\log x+8\pi^3 i}{x^2+x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{8\pi^3 i}{x^2+x+1}dx+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{x^2+x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\frac{16\pi^4 i}{3\sqrt{3}}+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{x^2+x+1}dx\)

 

第二項の積分

第二項の最後の変形(積分計算)は以下のようにした。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+x+1}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2}=\biggl[\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1} \displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\biggr]_{0}^{\infty}\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\)

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。

 

第二項

\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+z+1}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)^3}{R^2 e^{2i\theta}+Re^{i\theta}+1} \to 0\)

 

第四項

\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+z+1}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)^3}{r^2 e^{2i\theta}+re^{i\theta}+1} \to 0\)

 

右辺

極は\(z=e^{\frac{2\pi i}{3}}\)、\(z=e^{\frac{4\pi i}{3}}\)で、留数は

 

\(\mathrm{Res}[f(z) , e^{\frac{2\pi i}{3}}]=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{2z+1}\biggr]_{e^{\frac{2\pi i}{3}}}=-\displaystyle\frac{8\pi^3}{27\sqrt{3}}\)

 

\(\mathrm{Res}[f(z) , e^{\frac{4\pi i}{3}}]=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{2z+1}\biggr]_{e^{\frac{4\pi i}{3}}}=\displaystyle\frac{64\pi^3}{27\sqrt{3}}\)

 

\(0\leq\theta\leq 2\pi\)に限ってることに注意する。この結果、右辺(留数和)は

 

\(右辺=2\pi i\biggl(-\displaystyle\frac{8\pi^3}{27\sqrt{3}}+\displaystyle\frac{64\pi^3}{27\sqrt{3}}\biggr)=\displaystyle\frac{112\pi^4 i}{27\sqrt{3}}\)

 

まとめ

以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\frac{16\pi^4 i}{3\sqrt{3}}+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{x^2+x+1}dx=\displaystyle\frac{112\pi^4 i}{27\sqrt{3}}\)

 

虚部を比較すると

\(-6\pi \displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\frac{16\pi^4}{3\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{112\pi^4}{27\sqrt{3}}\)

 

これを計算すると答えは

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+x+1} dx=\displaystyle\frac{16\pi^3}{81\sqrt{3}}\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+x+1} dx=\displaystyle\frac{16\pi^3}{81\sqrt{3}}\)

 

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