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問題
\(0<a<1\)とする。
解答
\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{(z+a)(\mathrm{Log} z-\pi i)}\) として下の経路で積分。
\(f(z)\)をこれにするのは後の計算から分かる。うまいこと問題の積分が出てくる。
対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。
留数定理より以下の等式が導かれる。
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x-\pi i)}+\displaystyle\int_{C_{2}} f(z)dz\)
\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x+2\pi i-\pi i)}+\displaystyle\int_{C_{4}} f(z)dz\)
\(=2\pi i\times (留数和)\)
※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。
左辺第一項と第三項
\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x-\pi i)}+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x+2\pi i-\pi i)}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x-\pi i)}-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log x+\pi i)}\)
\(=2\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log^2 x+\pi^2 )}\)
左辺第二項と第四項
結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。
第二項
\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z}{(z+a)(\log z-\pi i)}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}}{(Re^{i\theta}+a)(\log R+i\theta-\pi i)} \to 0\)
第四項
\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z}{(z+a)(\log z-\pi i)}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}}{(re^{i\theta}+a)(\log r+i\theta-\pi i)} \to 0\)
右辺
極は\(z=-1\)、\(z=-a\)で、留数は
\(\mathrm{Res}(f(z) , -a)=\displaystyle\frac{1}{\log(-a)-\pi i}=\displaystyle\frac{1}{\log a}\)
\(\mathrm{Res}(f(z) , -1)=\displaystyle\lim_{z\to -1}\displaystyle\frac{z+1}{(\log z-\pi i)(z+a)}=\displaystyle\frac{1}{1-a}\)
よって \(右辺=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{1}{\log a}+\displaystyle\frac{1}{1-a}\biggr)\)
まとめ
以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。
\(2\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log^2 x+\pi^2)}=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{1}{\log a}+\displaystyle\frac{1}{1-a}\biggr)\)
よって答えは
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log^2 x+\pi^2)}=\biggl(\displaystyle\frac{1}{\log a}+\displaystyle\frac{1}{1-a}\biggr)\)
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+a)(\log^2 x+\pi^2)}=\biggl(\displaystyle\frac{1}{\log a}+\displaystyle\frac{1}{1-a}\biggr)\)
