複素積分問題15

複素積分問題
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問題

 

 

解答

\(f(z)=\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{(z+1)^2}\) として下の経路で積分。

 

① 分子を\((\mathrm{Log} z)^3\)にしていることに注意。

※ 後の計算から分かるが、\((\mathrm{Log} z)^3\)の項は相殺されて消えて、\((\mathrm{Log} z)^2\)の項が最高次として残るためです。

 

② 対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。こうすることで、一価関数となる。

 

ちなみに、この積分路は「keyhole contour(鍵穴積分路)」と呼ばれる。

 

留数定理より以下の等式が導かれる。

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{(x+1)^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{(z+1)^2}dz\)

 

\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{(x+1)^2}dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{(z+1)^2}dz\)

 

\(=2\pi i\times (留数和)\)

 

※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。

 

左辺第一項と第三項

\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{(x+1)^2}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{(x+1)^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{(x+1)^2}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{(x+1)^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2+12\pi^2\log x+8\pi^3 i}{(x+1)^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{(x+1)^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{8\pi^3 i}{(x+1)^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{12\pi^2\log x}{(x+1)^2}dx\)

 

\(=-6\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{(x+1)^2}dx+8\pi^3 i+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{(x+1)^2}dx\)

 

※\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{(x+1)^2}=1\) を使ってる。

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。

 

第二項

\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{(z+1)^2}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)^3}{(Re^{i\theta}+1)^2} \to 0\)

 

第四項

\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{(z+1)^2}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)^3}{(re^{i\theta}+1)^2} \to 0\)

 

右辺

極は\(z=-1\)で、二位の極。この点での留数は

 

\(\mathrm{Res}(f(z) , -1)=\displaystyle\frac{1}{(2-1)!}\displaystyle\lim_{z\to\ -1}\displaystyle\frac{d^2}{dz^2} (\mathrm{Log} z)^3=3\pi^2\)

 

よって \(右辺=2\pi i\times 3\pi^2=6\pi^3 i\)

 

まとめ

以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。

 

\(-6\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{(x+1)^2}dx+8\pi^3 i+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{(x+1)^2}dx=6\pi^3 i\)

 

虚部を比較すると

\(-6\pi \displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{(x+1)^2}dx+8\pi^3=6\pi^3 \)

 

これを計算すると答えは

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{(x+1)^2} dx=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{(x+1)^2} dx=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}\)

 

 

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