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問題
解答
\(f(z)=\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{z^3+1}\) として下の経路で積分。
① 分子を\((\mathrm{Log} z)^2\)にしていることに注意。
※ 後の計算から分かるが、\((\mathrm{Log} z)^2\)の項は相殺されて消えて、\((\mathrm{Log} z)\)の項が最高次として残るためです。
② 対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。こうすることで、一価関数となる。
ちなみに、この積分路は「keyhole contour（鍵穴積分路）」と呼ばれる。
留数定理より以下の等式が導かれる。
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^3+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{z^3+1}dz\)
\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^2}{x^3+1} dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{z^3+1}dz\)
\(=2\pi i\times (留数和)\)
※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。
左辺第一項と第三項
\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^3+1}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^2}{x^3+1} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^3+1}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^2}{x^3+1} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-4\pi i\log x+4\pi^2}{x^3+1}dx\)
\(=-4\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^3+1}dx+4\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^3+1}\)
左辺第二項と第四項
結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。
第二項
\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^2}{z^3+1}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)^2}{R^3 e^{3i\theta}+1} \to 0\)
第四項
\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^2}{z^3+1}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)^2}{r^3 e^{3i\theta}+1} \to 0\)
右辺
極は\(z=e^{\frac{\pi i}{3}}\)、\(z=-1\)、\(z=e^{\frac{5\pi i}{3}}\)で、留数は
\(\mathrm{Res}(f(z) , e^{\frac{\pi i}{3}})=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{3z^2}\biggr]_{e^{\frac{\pi i}{3}}}=\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3}i)\pi^2}{54}\)
\(\mathrm{Res}(f(z) , -1)=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{3z^2}\biggr]_{-1}=-\displaystyle\frac{\pi^2}{3}\)
\(\mathrm{Res}(f(z) , e^{\frac{5\pi i}{3}})=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^2}{3z^2}\biggr]_{e^{\frac{5\pi i}{3}}}=\displaystyle\frac{25(1-\sqrt{3}i)\pi^2}{54}\)
\(0\leq\theta\leq 2\pi\)に限ってることに注意する。この結果、右辺（留数和）は
\(右辺=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3}i)\pi^2}{54}-\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\displaystyle\frac{25(1-\sqrt{3}i)\pi^2}{54}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{8}{27}\pi^3 i+\displaystyle\frac{8\sqrt{3}}{9}\pi^3\)
まとめ
以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。
\(-4\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^3+1}dx+4\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle\frac{8}{27}\pi^3 i+\displaystyle\frac{8\sqrt{3}}{9}\pi^3\)
虚部を比較すると
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^3+1}dx=-\displaystyle\frac{2}{27}\pi^2 \)
※ちなみに実部を比較すると
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi\) が得られる。
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^3+1}dx=-\displaystyle\frac{2}{27}\pi^2 \)
