[mathjax]
問題
解答
突然ではあるが、 \(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)を二通りに表す。
その1
\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz=2\pi i\times(留数)\)
\(=\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}\)
その2
\(z=re^{i\theta}\) とおく。
\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{e^{r\cos\theta+ir\sin\theta}}{r^{n+1}e^{(n+1)i\theta}}rie^{i\theta}d\theta\)
\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta+ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)
\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} e^{ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)
\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)
まとめ
\(\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)
虚部を比較するとして整理すると
\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(n\theta-r\sin\theta)d\theta=\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)
が得られる。
答え
\(\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)
