複素積分問題19

複素積分問題
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問題

 

 

解答

突然ではあるが、 \(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)を二通りに表す。

 

その1

\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz=2\pi i\times(留数)\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}\)

 

その2

\(z=re^{i\theta}\) とおく。

 

\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{e^{r\cos\theta+ir\sin\theta}}{r^{n+1}e^{(n+1)i\theta}}rie^{i\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta+ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} e^{ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)

 

まとめ

\(\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)

 

虚部を比較するとして整理すると

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(n\theta-r\sin\theta)d\theta=\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)

が得られる。

 

答え

\(\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)

 

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