[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx\)
と似た感じの問題です。解答2はこちらに近い感じで解いてます。
解答1
\(f(t)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 (tx)}{x^2}dx\) とおく。 \(f(0)=0\) になる。
\(t>0\)のとき
\(f'(t)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x\sin tx\cos tx}{x^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin 2tx}{x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin k}{k}\cdot 2t\cdot \displaystyle\frac{dk}{2t}\) ※\(2tx=k\)とした
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin k}{k} dk\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ※ディリクレ積分
同様にして\(t<0\)のとき \(f'(t)=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) になる。
\(f(t)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\pi}{2}t+C & \text{$(t>0)$} \\ -\displaystyle\frac{\pi}{2}t+C & \text{$(t<0)$} \end{cases}\)
\(f(0)=0\)で連続より\(C=0\)。
よって求める積分は \(f(1)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
解答2
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2} dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2 x^2} dx\)
\(f(z)=\displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}\) とおく。
上の経路を取る。留数定理より（\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)として）
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz+\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz=0\)
第一項と第三項
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-e^{-2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2-2\cos 2x}{2x^2} dx\)
\(=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx\)
第四項
\(z=re^{i\theta}\) とおいて計算する。（\(r\to 0\)）
\(\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2} dz\)
\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{1-(1+2iz+\cdots)}{2 r^2 e^{2i\theta}} ire^{i\theta} d\theta\)
\(=-i\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{2ire^{i\theta}+\cdots}{2 r e^{i\theta}} d\theta\)
※分子カッコ内第3項以降はrが2次以上より、\(r\to 0\)で\(0\)に行く。
\(=-\displaystyle\int_{0}^{\pi} d\theta\)
\(=-\pi\)
第二項
\(z=Re^{i\theta}\) で0になることを示す。
\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz\biggr|\)
\(\leq \displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{|1-e^{2iz}|}{2 R^2}|dz|\)
\(\leq \displaystyle\frac{|1-e^{2iz}|}{2 R^2}\cdot \pi R\)
\(=0\) ※\(R\to\infty\)
まとめ
以上を留数定理に代入すると
\(2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2} dx-\pi=0\)
答え
\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
