[mathjax]
問題
解法1
複素積分の方法です。複素積分を知っていれば、普通はこちらで解くと思います。
\(f(z)=\displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}\)として、留数定理より
\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz=2\pi i(留数和)\)
左辺第一項と第三項
\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{\log z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{\log z}{z^2+1}dz\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x+\pi i}{x^2+1} dx\)
\(=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)
左辺第二項と第四項
結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。
第二項
\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=\pi r |f(z)|=\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z\mathrm{Log} z}{z^2+1}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)}{R^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)
第四項
\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=\pi r |f(z)|=\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z\mathrm{Log} z}{z^2+1}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)}{r^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)
右辺
上半面の極は \(z=i\) のみ。
\(留数和=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{\log i}{2i}\biggr)=\pi\times\biggl(\displaystyle\frac{\pi i}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{\pi^2 i}{2}\)
まとめ
\(2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{\pi^2 i}{2}\)
実部を比較することにより
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx=0\) を得る。
※虚部を比較すると \(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) が得られる。
解法2
少し技巧的な方法で解いてみます。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)
\(=\displaystyle\int_{\infty}^{1} \displaystyle\frac{\log \displaystyle\frac{1}{t}}{\displaystyle\frac{1}{t^2}+1}\cdot \displaystyle\frac{-dt}{t^2}\) ※\(x=\displaystyle\frac{1}{t}\)と変換
\(=\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{-\log t}{t^2+1}dt\)
\(=-\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)
よって問題の積分は以下のように変形できる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)\(+\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)
\(=-\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)\(+\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\) ※第一項は上のことを使った。
\(=0\)
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx=0\)
